ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Подкоренное выражение $1-{\cos }^{2}x⩾0$ при всех $x$, так как ${\cos }^{2}x⩽1$. Значит, уравнение определено при всех $x$.

По основному тригонометрическому тождеству $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$, а $\sqrt{a^2}=|a|$. Поэтому

$$\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\sqrt{{\sin }^{2}x}=|\sin x|,$$

и уравнение принимает вид

$$9^{|\sin x|}-9^{\sin x}=\frac{8}{3}.$$

Раскроем модуль. Если $\sin x⩾0$, то $|\sin x|=\sin x$, и левая часть равна $9^{\sin x}-9^{\sin x}=0\ne \frac{8}{3}$. Таких корней нет.

Если $\sin x<0$, то $|\sin x|=-\sin x$, и уравнение становится таким:

$$9^{-\sin x}-9^{\sin x}=\frac{8}{3}.$$

Сделаем замену $t=9^{\sin x}$. Показательная функция положительна, поэтому $t>0$, а $9^{-\sin x}=\frac{1}{t}$:

$$\frac{1}{t}-t=\frac{8}{3}.$$

Умножим обе части на $3t>0$ — это равносильный переход:

$$3-3t^2=8t\iff 3t^2+8t-3=0.$$

Найдём дискриминант: $D=8^2-4\cdot 3\cdot (-3)=64+36=100=10^2$. Тогда

$$t_1=\frac{-8-10}{6}=-3,t_2=\frac{-8+10}{6}=\frac{1}{3}.$$

Значение $t=-3$ не подходит, так как $t>0$. Сделаем обратную замену для $t=\frac{1}{3}$, записав правую часть как степень девяти: $\frac{1}{3}=9^{-\frac{1}{2}}$, потому что $9^{\frac{1}{2}}=3$.

$$9^{\sin x}=9^{-\frac{1}{2}}\iff \sin x=-\frac{1}{2}.$$

Условие $\sin x<0$ выполнено. Ордината $-\frac{1}{2}$ отвечает точкам $-\frac{\pi }{6}$ (IV четверть) и $-\frac{5\pi }{6}$ (III четверть), поэтому

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[4\pi ;\frac{11\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $4\pi$ — правая точка, конец $\frac{11\pi }{2}=4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

На дугу попадает точка $-\frac{5\pi }{6}$ из III четверти. Точка $-\frac{\pi }{6}$ из IV четверти на дуге не лежит.

Точке III четверти соответствует $4\pi +\frac{7\pi }{6}=\frac{31\pi }{6}$: это значение серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ при $k=3$, оно меньше $\frac{33\pi }{6}=\frac{11\pi }{2}$. Соседние значения $\frac{19\pi }{6}<4\pi$ и $\frac{43\pi }{6}>\frac{11\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $4\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{23\pi }{6}<4\pi$, а следующее значение $\frac{35\pi }{6}>\frac{33\pi }{6}=\frac{11\pi }{2}$.

На отрезке лежит единственный корень $\frac{31\pi }{6}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $-\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{31\pi }{6}$.