ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Косинус — чётная функция, поэтому $\cos (-x)=\cos x$. По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Подставим:

$$2\cos x-2\sqrt{2}\cos x-4\left(1-{\cos }^{2}x\right)=\sqrt{2}-4\iff 2\cos x-2\sqrt{2}\cos x-4+4{\cos }^{2}x=\sqrt{2}-4.$$

Прибавим к обеим частям $4$ и перенесём $\sqrt{2}$ влево:

$$4{\cos }^{2}x+2\cos x-2\sqrt{2}\cos x-\sqrt{2}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых и вынесем общие множители:

$$2\cos x\left(2\cos x+1\right)-\sqrt{2}\left(2\cos x+1\right)=0\iff \left(2\cos x-\sqrt{2}\right)\left(2\cos x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Абсцисса $\frac{\sqrt{2}}{2}$ отвечает точкам $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) и $-\frac{\pi }{4}$ (IV четверть), поэтому $x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Абсцисса $-\frac{1}{2}$ отвечает точкам $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть), поэтому $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-2\pi ;-\frac{\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-2\pi$ — правая точка, конец $-\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

На дугу попадают точки $\frac{\pi }{4}$ (I четверть), $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть). Точка $-\frac{\pi }{4}$ из IV четверти на дуге не лежит.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка.

Из серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-2\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{7\pi }{4}$: соседние значения $-\frac{15\pi }{4}<-2\pi$ и $\frac{\pi }{4}>-\frac{\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{\pi }{4}>-\frac{\pi }{2}$, а предыдущее значение $-\frac{9\pi }{4}<-2\pi$.

Из серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-2\pi +\frac{2\pi }{3}=-\frac{4\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{10\pi }{3}<-2\pi$ и $\frac{2\pi }{3}>-\frac{\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{2\pi }{3}$, так как $-\frac{4\pi }{6}<-\frac{3\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}$: соседние значения $-\frac{8\pi }{3}<-2\pi$ и $\frac{4\pi }{3}>-\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{7\pi }{4}$, $-\frac{4\pi }{3}$, $-\frac{2\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$; $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{4}$; $-\frac{4\pi }{3}$; $-\frac{2\pi }{3}$.