ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Косинус — чётная функция, поэтому $\cos (-x)=\cos x$. По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Уравнение принимает вид

$$2{\cos }^{2}x-1+\cos x=0\iff 2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$2t^2+t-1=0.$$

Найдём дискриминант: $D=1^2-4\cdot 2\cdot (-1)=1+8=9=3^2$. Тогда

$$t_1=\frac{-1-3}{4}=-1,t_2=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}.$$

Оба значения лежат на отрезке $[-1;1]$, значит, оба подходят. Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}\cos x=-1,\\ \cos x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi +2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — левая точка окружности.

Абсцисса $\frac{1}{2}$ отвечает точкам $\frac{\pi }{3}$ (I четверть) и $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть), поэтому из второго уравнения $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $-2\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

На дугу попадают левая точка и точка $-\frac{\pi }{3}$ из IV четверти. Точка $\frac{\pi }{3}$ из I четверти на дуге не лежит.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{11\pi }{3}=-\frac{22\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{5\pi }{3}>-2\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-2\pi -\frac{\pi }{3}=-\frac{7\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{13\pi }{3}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{\pi }{3}>-2\pi$.

Из серии $x=\pi +2\pi k$ на отрезок попадает только $-3\pi$: соседние значения $-5\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-\pi >-2\pi$.

На отрезке лежат $-3\pi$, $-\frac{7\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$; $\pi +2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$; $-\frac{7\pi }{3}$.