ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

В уравнении уже есть ${\sin }^{2}x$, поэтому косинус двойного угла удобно выразить через синус: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Получаем

$$\cos x\left(1-2{\sin }^{2}x\right)=\sqrt{3}{\sin }^{2}x+\cos x\iff \cos x-2{\sin }^{2}x\cos x=\sqrt{3}{\sin }^{2}x+\cos x.$$

Слагаемое $\cos x$ есть в обеих частях, вычтем его и перенесём всё в одну часть:

$$\sqrt{3}{\sin }^{2}x+2{\sin }^{2}x\cos x=0\iff {\sin }^{2}x\left(\sqrt{3}+2\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}{\sin }^{2}x=0,\\ \sqrt{3}+2\cos x=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — правая и левая точки окружности.

Абсцисса $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ отвечает двум точкам окружности: во II четверти (угол $\frac{5\pi }{6}$) и в III четверти (угол $-\frac{5\pi }{6}$). Поэтому из второго уравнения $x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\pi$ — левая точка, конец $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через III, IV и I четверти.

На дугу попадают левая точка (начало дуги), правая точка и точка $-\frac{5\pi }{6}$ из III четверти. Точка $\frac{5\pi }{6}$ из II четверти на дуге не лежит.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $\pi$ (левая точка) и $2\pi$ (правая точка): соседние значения $0<\pi$ и $3\pi >\frac{5\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{5\pi }{6}<\pi$, а следующее значение $\frac{17\pi }{6}>\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $2\pi -\frac{5\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{5\pi }{6}<\pi$ и $\frac{19\pi }{6}>\frac{5\pi }{2}$.

На отрезке лежат $\pi$, $\frac{7\pi }{6}$, $2\pi$.

Ответ: а) $\pi k$; $\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\pi$; $\frac{7\pi }{6}$; $2\pi$.