ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим $\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$. Синус — нечётная функция, поэтому $\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, а по формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$. Значит,

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x.$$

Уравнение принимает вид

$$4{\cos }^{3}x-3\cos x=0\iff \cos x\left(4{\cos }^{2}x-3\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ {\cos }^{2}x=\frac{3}{4}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — верхняя и нижняя точки окружности.

Абсцисса $\frac{\sqrt{3}}{2}$ отвечает точкам $\pm \frac{\pi }{6}$, абсцисса $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — точкам $\pm \frac{5\pi }{6}$. Получаем $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$ и $x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Эти четыре точки попарно диаметрально противоположны: $\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$ — та же точка, что $-\frac{5\pi }{6}$, а $-\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{5\pi }{6}$. Поэтому все четыре серии записываются короче: $x=\pm \frac{\pi }{6}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-2\pi ;-\pi \right]$ имеет длину $\pi <2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-2\pi$ — правая точка, конец $-\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки — это верхняя полуокружность (I и II четверти).

На неё попадают верхняя точка $\frac{\pi }{2}$, точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти и точка $\frac{5\pi }{6}$ из II четверти. Нижняя точка и точки $\frac{7\pi }{6}$, $-\frac{\pi }{6}$ лежат на нижней полуокружности и не подходят.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка, прибавляя к началу $-2\pi$ соответствующий угол.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадает только $-2\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{3\pi }{2}$: соседние значения $-\frac{5\pi }{2}<-2\pi$ и $-\frac{\pi }{2}>-\pi$.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ на отрезок попадает только $-2\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{11\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{17\pi }{6}<-2\pi$ и $-\frac{5\pi }{6}>-\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{6}+\pi k$ на отрезок попадает только $-2\pi +\frac{5\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{13\pi }{6}<-2\pi$ и $-\frac{\pi }{6}>-\pi$.

На отрезке лежат $-\frac{11\pi }{6}$, $-\frac{3\pi }{2}$, $-\frac{7\pi }{6}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $\pm \frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{6}$; $-\frac{3\pi }{2}$; $-\frac{7\pi }{6}$.