ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}+2x\right)=-\sin 2x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+2x$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен.

Также $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$, а по формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$-2\sin x\cos x+2\sqrt{3}{\sin }^{2}x=0\iff 2\sin x\left(\sqrt{3}\sin x-\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sqrt{3}\sin x=\cos x.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение — однородное первой степени. Если $\cos x=0$, то из него $\sin x=0$, но синус и косинус одного угла одновременно в нуль не обращаются. Значит, $\cos x\ne 0$, и можно равносильно разделить обе части на $\sqrt{3}\cos x$:

$$\mathrm{tg}x=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\iff x=\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

На окружности эта серия — точка $\frac{\pi }{6}$ в I четверти и диаметрально противоположная ей точка $\frac{7\pi }{6}$ в III четверти.

б) Отрезок $\left[\frac{13\pi }{4};\frac{19\pi }{4}\right]$ имеет длину $\frac{6\pi }{4}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{13\pi }{4}=2\pi +\frac{5\pi }{4}$ — точка в середине III четверти, конец $\frac{19\pi }{4}=4\pi +\frac{3\pi }{4}$ — точка в середине II четверти. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит вторую половину III четверти, IV и I четверти и первую половину II четверти. Вне дуги остаётся участок от $\frac{3\pi }{4}$ до $\frac{5\pi }{4}$ возле левой точки.

На дугу попадают правая точка серии $x=\pi k$ и точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти. Левая точка $\pi$ и точка $\frac{7\pi }{6}$ лежат на участке вне дуги: $\frac{3\pi }{4}<\pi <\frac{7\pi }{6}<\frac{5\pi }{4}$.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадает только $4\pi$: соседние значения $3\pi =\frac{12\pi }{4}<\frac{13\pi }{4}$ и $5\pi =\frac{20\pi }{4}>\frac{19\pi }{4}$.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+\pi k$ на отрезок попадает только $4\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{25\pi }{6}$: соседние значения $\frac{19\pi }{6}=\frac{38\pi }{12}<\frac{39\pi }{12}=\frac{13\pi }{4}$ и $\frac{31\pi }{6}=\frac{62\pi }{12}>\frac{57\pi }{12}=\frac{19\pi }{4}$.

На отрезке лежат $4\pi$, $\frac{25\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pi k$; $\frac{\pi }{6}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $4\pi$; $\frac{25\pi }{6}$.