ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем косинус суммы по формуле $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x.$$

По формуле приведения $\cos (\pi -x)=-\cos x$: угол $\pi$ отсчитывается от горизонтальной оси, поэтому функция не меняется, а при малых $x>0$ угол $\pi -x$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен.

Подставим оба выражения в уравнение:

$$4\left(\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)-2\cos x=3\iff 2\cos x-2\sqrt{3}\sin x-2\cos x=3.$$

Слагаемые $2\cos x$ и $-2\cos x$ взаимно уничтожаются:

$$-2\sqrt{3}\sin x=3\iff \sin x=-\frac{3}{2\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ордината $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{3}$) и в III четверти (угол $-\frac{2\pi }{3}$). Поэтому

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{13\pi }{2};8\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{13\pi }{2}=6\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка, конец $8\pi$ — правая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти. На неё попадают обе точки решения: из III и из IV четверти.

Переведём их в числа отрезка, отсчитывая от конца $8\pi$. Точке IV четверти соответствует $8\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{23\pi }{3}$; соседние значения серии $\frac{17\pi }{3}<\frac{13\pi }{2}$ и $\frac{29\pi }{3}>8\pi$ лежат вне отрезка.

Точке III четверти соответствует $8\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{22\pi }{3}$; соседние значения $\frac{16\pi }{3}=\frac{32\pi }{6}<\frac{39\pi }{6}=\frac{13\pi }{2}$ и $\frac{28\pi }{3}>8\pi$.

На отрезке лежат $\frac{22\pi }{3}$, $\frac{23\pi }{3}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$; $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{22\pi }{3}$; $\frac{23\pi }{3}$.