ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Это однородное уравнение первой степени относительно $\sin 2x$ и $\cos 2x$. Чтобы перейти к тангенсу, нужно разделить на $\cos 2x$, поэтому сначала проверим, что $\cos 2x\ne 0$.

Пусть $\cos 2x=0$. Тогда из уравнения $\sqrt{3}\sin 2x=0$, то есть и $\sin 2x=0$. Но синус и косинус одного угла не могут одновременно равняться нулю, так как ${\sin }^{2}2x+{\cos }^{2}2x=1$. Значит, корни уравнения удовлетворяют условию $\cos 2x\ne 0$, и деление на $\cos 2x$ — равносильный переход:

$$\sqrt{3}\cdot \frac{\sin 2x}{\cos 2x}+3=0\iff \sqrt{3}\mathrm{tg}2x=-3\iff \mathrm{tg}2x=-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}.$$

Так как $\mathrm{tg}\left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}$, а период тангенса равен $\pi$,

$$2x=-\frac{\pi }{3}+\pi k\iff x=-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}.$$

На единичной окружности эта серия — четыре точки с шагом $\frac{\pi }{2}$: $-\frac{\pi }{6}$ (IV четверть), $\frac{\pi }{3}$ (I четверть), $\frac{5\pi }{6}$ (II четверть) и $\frac{4\pi }{3}$ (III четверть).

б) Отрезок $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\pi$ — левая точка, конец $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через III, IV и I четверти. На неё попадают точки серии из III, IV и I четвертей, а точка из II четверти — нет.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка: точке III четверти соответствует $\frac{4\pi }{3}$ ($k=3$), точке IV четверти — $2\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{11\pi }{6}$ ($k=4$), точке I четверти — $2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$ ($k=5$). Соседние значения серии $\frac{5\pi }{6}<\pi$ ($k=2$) и $\frac{17\pi }{6}>\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$ ($k=6$) лежат вне отрезка.

На отрезке лежат $\frac{4\pi }{3}$, $\frac{11\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{3}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{4\pi }{3}$; $\frac{11\pi }{6}$; $\frac{7\pi }{3}$.