ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Перенесём левую часть в правую и запишем уравнение в виде «выражение равно нулю»:

$$\sqrt{2}{\cos }^{2}x+2\sin x-2{\sin }^{3}x=0.$$

Вынесем $2\sin x$ из последних двух слагаемых:

$$\sqrt{2}{\cos }^{2}x+2\sin x\left(1-{\sin }^{2}x\right)=0.$$

По основному тригонометрическому тождеству $1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$, поэтому

$$\sqrt{2}{\cos }^{2}x+2\sin x{\cos }^{2}x=0\iff {\cos }^{2}x\left(\sqrt{2}+2\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}{\cos }^{2}x=0,\\ \sqrt{2}+2\sin x=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — верхняя и нижняя точки окружности.

Ордината $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{4}$) и в III четверти (угол $-\frac{3\pi }{4}$). Поэтому из второго уравнения $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ или $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-4\pi$ — правая точка, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

На дугу попадают верхняя и нижняя (конец дуги) точки серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ и точка $-\frac{3\pi }{4}$ из III четверти. Точка $-\frac{\pi }{4}$ из IV четверти на дуге не лежит.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают $-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{5\pi }{2}$: соседние значения $-\frac{9\pi }{2}<-4\pi$ и $-\frac{3\pi }{2}>-\frac{5\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{17\pi }{4}<-\frac{16\pi }{4}=-4\pi$, а следующее значение $-\frac{9\pi }{4}>-\frac{10\pi }{4}=-\frac{5\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{3\pi }{4}-2\pi =-\frac{11\pi }{4}$: соседние значения $-\frac{19\pi }{4}<-4\pi$ и $-\frac{3\pi }{4}>-\frac{5\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{7\pi }{2}$, $-\frac{11\pi }{4}$, $-\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $-\frac{\pi }{4}+2\pi k$; $-\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{7\pi }{2}$; $-\frac{11\pi }{4}$; $-\frac{5\pi }{2}$.