ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим $\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$. Синус — нечётная функция, $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$, поэтому

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right).$$

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$, значит, $\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$. Уравнение принимает вид

$$4{\cos }^{3}x-\cos x=0\iff \cos x\left(4{\cos }^{2}x-1\right)=0.$$

Разложим скобку по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$\cos x\left(2\cos x-1\right)\left(2\cos x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=\frac{1}{2},\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Абсцисса $\frac{1}{2}$ отвечает точкам $\frac{\pi }{3}$ и $-\frac{\pi }{3}$, поэтому $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$. Абсцисса $-\frac{1}{2}$ отвечает точкам $\frac{2\pi }{3}$ и $-\frac{2\pi }{3}$, поэтому $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Четыре точки $\frac{\pi }{3}$, $\frac{2\pi }{3}$, $-\frac{\pi }{3}$, $-\frac{2\pi }{3}$ попарно диаметрально противоположны: $\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$ — это та же точка, что $-\frac{2\pi }{3}$, а $-\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{2\pi }{3}$. Поэтому эти четыре серии короче записываются двумя: $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка, конец $\pi$ — левая точка. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

На дугу попадают нижняя точка (начало дуги) и верхняя точка, точка $-\frac{\pi }{3}$ из IV четверти, точка $\frac{\pi }{3}$ из I четверти и точка $\frac{2\pi }{3}$ из II четверти. Точка $\frac{4\pi }{3}$ из III четверти на дуге не лежит.

Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают $-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{\pi }{2}$: соседние значения $-\frac{3\pi }{2}<-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{2}>\pi$.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{2\pi }{3}<-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{4\pi }{3}>\pi$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k$ на отрезок попадают $-\frac{\pi }{3}$ и $\frac{2\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{4\pi }{3}<-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{5\pi }{3}>\pi$.

На отрезке лежат $-\frac{\pi }{2}$, $-\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{2}$, $\frac{2\pi }{3}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi }{2}$; $-\frac{\pi }{3}$; $\frac{\pi }{3}$; $\frac{\pi }{2}$; $\frac{2\pi }{3}$.