ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ уравнения: $2^{2x}-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x>0$.

По определению логарифма ${\log }_{4}a=x$ означает $a=4^x$. Поэтому уравнение равносильно

$$2^{2x}-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x=4^x.$$

Отдельно решать неравенство ОДЗ не нужно: при выполнении этого равенства аргумент логарифма равен $4^x$, а показательная функция принимает только положительные значения, $4^x>0$. Значит, все корни нового уравнения автоматически лежат в ОДЗ, и переход равносилен.

По свойству степени $2^{2x}={\left(2^2\right)}^x=4^x$. Вычтем $4^x$ из обеих частей:

$$-\sqrt{3}\cos x-\sin 2x=0\iff \sqrt{3}\cos x+\sin 2x=0.$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\sqrt{3}\cos x+2\sin x\cos x=0\iff \cos x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — верхняя и нижняя точки окружности.

Ордината $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{3}$) и в III четверти (угол $-\frac{2\pi }{3}$). Поэтому из второго уравнения $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ или $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{5\pi }{2}>2\pi$, поэтому отберём корни с помощью двойных неравенств. Для каждой серии запишем условие попадания на отрезок, разделим все части на $\pi >0$ и найдём подходящие целые $k$.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$:

$$\pi ⩽\frac{\pi }{2}+\pi k⩽\frac{7\pi }{2}\iff 1⩽\frac{1}{2}+k⩽\frac{7}{2}\iff \frac{1}{2}⩽k⩽3.$$

Подходят $k=1,2,3$, получаем корни $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{7\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$:

$$\pi ⩽-\frac{\pi }{3}+2\pi k⩽\frac{7\pi }{2}\iff \frac{4}{3}⩽2k⩽\frac{23}{6}\iff \frac{2}{3}⩽k⩽\frac{23}{12}.$$

Так как $\frac{23}{12}<2$, подходит только $k=1$, корень $-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$:

$$\pi ⩽-\frac{2\pi }{3}+2\pi k⩽\frac{7\pi }{2}\iff \frac{5}{3}⩽2k⩽\frac{25}{6}\iff \frac{5}{6}⩽k⩽\frac{25}{12}.$$

Так как $2<\frac{25}{12}<3$, подходят $k=1$ и $k=2$, корни $-\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{4\pi }{3}$ и $-\frac{2\pi }{3}+4\pi =\frac{10\pi }{3}$.

Расположим найденные корни по возрастанию: на отрезке лежат $\frac{4\pi }{3}$, $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{5\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{2}$, $\frac{10\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$; $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{4\pi }{3}$; $\frac{3\pi }{2}$; $\frac{5\pi }{3}$; $\frac{5\pi }{2}$; $\frac{10\pi }{3}$; $\frac{7\pi }{2}$.