ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем синус суммы по формуле $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$:

$$2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x.$$

Подставим это в уравнение:

$$\sin x+\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x+1.$$

Слагаемое $\sqrt{3}\sin 2x$ есть в обеих частях, вычтем его:

$$\sin x+\cos 2x-1=0.$$

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, тогда $\cos 2x-1=-2{\sin }^{2}x$, и уравнение становится уравнением относительно $\sin x$:

$$\sin x-2{\sin }^{2}x=0\iff \sin x\left(1-2\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Из первого уравнения $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$ — это правая и левая точки единичной окружности.

Ордината $\frac{1}{2}$ отвечает двум точкам окружности: в I четверти (угол $\frac{\pi }{6}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$). Поэтому из второго уравнения $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-2\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

На эту дугу попадают левая точка и правая точка (конец дуги) серии $x=\pi k$, а также точка $\frac{5\pi }{6}$ из II четверти. Точка $\frac{\pi }{6}$ из I четверти на дуге не лежит.

Переведём отмеченные точки в числа отрезка.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $-3\pi$ (левая точка) и $-2\pi$ (правая точка): соседние значения $-4\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-\pi >-2\pi$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{23\pi }{6}<-\frac{21\pi }{6}=-\frac{7\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{11\pi }{6}>-\frac{12\pi }{6}=-2\pi$.

Из серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{5\pi }{6}-4\pi =-\frac{19\pi }{6}$: соседние значения $-\frac{31\pi }{6}<-\frac{7\pi }{2}$ и $-\frac{7\pi }{6}>-2\pi$.

На отрезке лежат $-\frac{19\pi }{6}$, $-3\pi$, $-2\pi$.

Ответ: а) $\pi k$; $\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $\frac{5\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{19\pi }{6}$; $-3\pi$; $-2\pi$.