ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Найдём ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным,

$$x^2+2x>0\iff x(x+2)>0\iff x<-2\text{или}x>0.$$

По определению логарифма ${\log }_{2}a=3$ означает $a=2^3$. Поэтому на ОДЗ уравнение равносильно

$$x^2+2x=8.$$

Перенесём всё в левую часть и выделим полный квадрат: прибавим к обеим частям $1$.

$$x^2+2x+1=9\iff (x+1{)}^2=3^2\iff (x+1{)}^2-3^2=0.$$

Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$(x+1-3)(x+1+3)=0\iff (x-2)(x+4)=0\iff [\begin{array}{l}x=2,\\ x=-4.\end{array}$$

Проверим ОДЗ: $-4<-2$ и $2>0$, оба корня подходят. Это видно и без вычислений: для найденных корней аргумент логарифма равен $8>0$.

б) Сравним корни с концами отрезка $\left[{\log }_{3}0,1;{\log }_{3}13\right]$. Для этого запишем каждый корень как логарифм по основанию $3$ и воспользуемся тем, что функция $y={\log }_{3}t$ возрастает (основание $3>1$): большему аргументу соответствует большее значение.

Для $x=-4$:

$$-4={\log }_3{3}^{-4}={\log }_3\frac{1}{81}.$$

Так как $\frac{1}{81}<\frac{1}{10}=0,1$, получаем $-4<{\log }_{3}0,1$. Корень $-4$ лежит левее отрезка и не подходит.

Для $x=2$:

$$2={\log }_3{3}^2={\log }_{3}9.$$

Так как $0,1<9<13$, по возрастанию логарифма

$${\log }_{3}0,1<{\log }_{3}9<{\log }_{3}13,\text{то есть}{\log }_{3}0,1<2<{\log }_{3}13.$$

Корень $2$ принадлежит отрезку.

Ответ: а) $-4$; $2$; б) $2$.