а) Решите уравнение log₉(3^(2x)+5√2sin x-6cos²x-2)=x. б) Укажите… — 14 задание ЕГЭ профиль

№14 Тригонометрия и логарифмы средняя развёрнутое

а) Решите уравнение $lo g_{9} (3^{2 x} + 52 sin x - 6 cos^{2} x - 2) = x$ .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 2 π; - \frac{π}{2}]$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

а) Ограничение: выражение под логарифмом положительно. По определению логарифма $lo g_{9} A = x$ равносильно $A = 9^{x}$ . Так как $9^{x} > 0$ при всех $x$ , для решений этого уравнения ограничение $A > 0$ выполняется автоматически. Значит, исходное уравнение равносильно

$3^{2 x} + 52 sin x - 6 cos^{2} x - 2 = 9^{x} .$

Заметим, что $3^{2 x} = (3^{2})^{x} = 9^{x}$ , поэтому степени в обеих частях сокращаются:

$52 sin x - 6 cos^{2} x - 2 = 0.$

Заменим $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ по основному тригонометрическому тождеству:

$52 sin x - 6 + 6 sin^{2} x - 2 = 0 \Leftrightarrow 6 sin^{2} x + 52 sin x - 8 = 0.$

Сделаем замену $t = sin x$ , где $- 1 ⩽ t ⩽ 1$ : $6 t^{2} + 52 t - 8 = 0$ . Найдём дискриминант:

$D = (52)^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 8) = 50 + 192 = 242 = 121 \cdot 2 = (112)^{2} .$

$t_{1} = \frac{- 5 2 + 11 2}{12} = \frac{6 2}{12} = \frac{2}{2}, t_{2} = \frac{- 5 2 - 11 2}{12} = - \frac{4 2}{3} .$

Второй корень не подходит: $(\frac{4 2}{3})^{2} = \frac{32}{9} > 1$ , то есть $t_{2} < - 1$ , а синус не бывает меньше $- 1$ .

Остаётся $sin x = \frac{2}{2}$ . Ординате $\frac{2}{2}$ отвечают точки $\frac{π}{4}$ (I четверть) и $\frac{3 π}{4}$ (II четверть):

$x = \frac{π}{4} + 2 π k, x = \frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z .$

б) Отрезок $[- 2 π; - \frac{π}{2}]$ имеет длину $\frac{3 π}{2}$ , отберём корни на единичной окружности. Начало $- 2 π$ — правая точка окружности, конец $- \frac{π}{2}$ — нижняя. От начала к концу против часовой стрелки проходим I, II и III четверти, поэтому обе точки решения лежат на дуге.

Отбор корней на единичной окружности

Из серии $x = \frac{π}{4} + 2 π k$ на отрезок попадает только $- 2 π + \frac{π}{4} = - \frac{7 π}{4}$ : соседние значения $- \frac{15 π}{4} < - 2 π$ и $\frac{π}{4} > - \frac{π}{2}$ .

Из серии $x = \frac{3 π}{4} + 2 π k$ на отрезок попадает только $- 2 π + \frac{3 π}{4} = - \frac{5 π}{4}$ : соседние значения $- \frac{13 π}{4} < - 2 π$ и $\frac{3 π}{4} > - \frac{π}{2}$ .

На отрезке лежат $- \frac{7 π}{4}$ и $- \frac{5 π}{4}$ .

Ответ: а) $\frac{π}{4} + 2 π k$ ; $\frac{3 π}{4} + 2 π k, k \in Z$ ; б) $- \frac{7 π}{4}$ ; $- \frac{5 π}{4}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Сообщить об ошибке

Ещё задания №14