ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Ограничение: знаменатель не равен нулю, $\sin x\ne 0$, то есть $x\ne \pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cos x$: угол $\frac{3\pi }{2}-x$ при малом положительном $x$ лежит в III четверти, где синус отрицателен, а при отсчёте от $\frac{3\pi }{2}$ синус меняется на косинус. Уравнение принимает вид

$$\frac{\sqrt{3}}{\sin x}=-4\cos x.$$

При $\sin x\ne 0$ умножение обеих частей на $\sin x$ равносильно:

$$\sqrt{3}=-4\sin x\cos x.$$

По формуле синуса двойного угла $4\sin x\cos x=2\sin 2x$, поэтому

$$\sqrt{3}=-2\sin 2x\iff \sin 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Ординате $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют углы $-\frac{\pi }{3}$ и $-\frac{2\pi }{3}$:

$$[\begin{array}{l}2x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ 2x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Ограничение выполнено: если бы $\sin x=0$, то и $\sin 2x=2\sin x\cos x=0$, а у найденных корней $\sin 2x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\ne 0$. Обе серии подходят.

б) Отрезок $\left[-\frac{21\pi }{4};-\frac{17\pi }{4}\right]$ имеет длину $\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{21\pi }{4}=-6\pi +\frac{3\pi }{4}$ — точка $\frac{3\pi }{4}$ во II четверти, конец $-\frac{17\pi }{4}=-6\pi +\frac{7\pi }{4}$ — точка $\frac{7\pi }{4}$ в IV четверти. От начала к концу против часовой стрелки дуга проходит конец II четверти, всю III четверть и начало IV четверти.

Каждая серия с периодом $\pi$ даёт две диаметрально противоположные точки. Серия $-\frac{\pi }{6}+\pi k$ — точки $\frac{5\pi }{6}$ и $\frac{11\pi }{6}$: первая лежит на дуге ($\frac{9\pi }{12}<\frac{10\pi }{12}$), вторая — за её концом ($\frac{22\pi }{12}>\frac{21\pi }{12}$). Серия $-\frac{\pi }{3}+\pi k$ — точки $\frac{2\pi }{3}$ и $\frac{5\pi }{3}$: первая лежит до начала дуги ($\frac{8\pi }{12}<\frac{9\pi }{12}$), вторая — на дуге ($\frac{20\pi }{12}<\frac{21\pi }{12}$).

Найдём соответствующие числа: $-6\pi +\frac{5\pi }{6}=-\frac{31\pi }{6}$ и $-6\pi +\frac{5\pi }{3}=-\frac{13\pi }{3}$.

Проверим двойным неравенством в двенадцатых долях $\pi$: отрезок — это $\left[-\frac{63\pi }{12};-\frac{51\pi }{12}\right]$, а $-\frac{31\pi }{6}=-\frac{62\pi }{12}$ и $-\frac{13\pi }{3}=-\frac{52\pi }{12}$ лежат внутри. Соседние значения вне отрезка: $-\frac{37\pi }{6}=-\frac{74\pi }{12}$ и $-\frac{25\pi }{6}=-\frac{50\pi }{12}$ для первой серии, $-\frac{16\pi }{3}=-\frac{64\pi }{12}$ и $-\frac{10\pi }{3}=-\frac{40\pi }{12}$ для второй.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{6}+\pi k$; $-\frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{31\pi }{6}$; $-\frac{13\pi }{3}$.