ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле приведения $\sin (x+\pi )=-\sin x$: угол $x+\pi$ при малом положительном $x$ лежит в III четверти, где синус отрицателен. Поэтому правая часть равна $\sqrt{3}+2\sin x$.

По формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, значит, $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$. Уравнение принимает вид

$$2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}+2\sin x.$$

Перенесём всё в левую часть:

$$2{\sin }^{2}x-2\sin x+\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}=0.$$

Сгруппируем: из первых двух слагаемых вынесем $2\sin x$, из последних двух — $\sqrt{3}$:

$$2\sin x\left(\sin x-1\right)+\sqrt{3}\left(\sin x-1\right)=0\iff \left(\sin x-1\right)\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=1,\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Первое уравнение даёт верхнюю точку окружности: $x=\frac{\pi }{2}+2\pi k$. Во втором ордината $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ отвечает точкам $-\frac{\pi }{3}$ (IV четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть):

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя. От начала к концу против часовой стрелки проходим III, IV и I четверти, поэтому все три точки решения лежат на дуге: точка III четверти, точка IV четверти и верхняя точка (конец дуги).

Найдём соответствующие числа: $2\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$, $2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$ и $2\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{2}$.

Проверим соседние значения серий: $\frac{4\pi }{3}-2\pi =-\frac{2\pi }{3}<\pi$ и $\frac{4\pi }{3}+2\pi =\frac{10\pi }{3}>\frac{5\pi }{2}$; $\frac{5\pi }{3}-2\pi =-\frac{\pi }{3}<\pi$ и $\frac{11\pi }{3}>\frac{5\pi }{2}$; $\frac{5\pi }{2}-2\pi =\frac{\pi }{2}<\pi$ и $\frac{9\pi }{2}>\frac{5\pi }{2}$. Других корней на отрезке нет.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+2\pi k$; $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$; $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{4\pi }{3}$; $\frac{5\pi }{3}$; $\frac{5\pi }{2}$.