ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Ограничения: все выражения под логарифмами положительны.

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ 4x^2-1>0,\\ \frac{x\left(4x^2-1\right)}{3}>0.\end{array}$$

Третье неравенство следует из первых двух: произведение положительных чисел положительно. Второе неравенство разложим по формуле разности квадратов: $(2x-1)(2x+1)>0$, откуда $x<-\frac{1}{2}$ или $x>\frac{1}{2}$. Вместе с условием $x>0$ получаем $x>\frac{1}{2}$.

На этом множестве оба числа $x$ и $4x^2-1$ положительны, поэтому можно применить свойства логарифма произведения и частного:

$${\log }_3\frac{x\left(4x^2-1\right)}{3}={\log }_{3}x+{\log }_3\left(4x^2-1\right)-{\log }_{3}3={\log }_{3}x+{\log }_3\left(4x^2-1\right)-1.$$

Обозначим $a={\log }_{3}x$, $b={\log }_3\left(4x^2-1\right)$. Уравнение принимает вид

$$ab=a+b-1\iff ab-a-b+1=0.$$

Сгруппируем: $a(b-1)-(b-1)=0$, то есть

$$(a-1)(b-1)=0\iff [\begin{array}{l}{\log }_{3}x=1,\\ {\log }_3\left(4x^2-1\right)=1.\end{array}$$

Первое уравнение: ${\log }_{3}x=1={\log }_{3}3$, откуда $x=3$. Так как $3>\frac{1}{2}$, корень подходит.

Второе уравнение: ${\log }_3\left(4x^2-1\right)={\log }_{3}3$, откуда $4x^2-1=3$, $x^2=1$, $x=\pm 1$. Ограничению $x>\frac{1}{2}$ удовлетворяет только $x=1$.

Проверим корень $x=1$ подстановкой: слева ${\log }_{3}1\cdot {\log }_{3}3=0\cdot 1=0$, справа ${\log }_3\frac{1\cdot 3}{3}={\log }_{3}1=0$ — верно.

б) Сравним корни с концами отрезка $\left[{\log }_{5}2;{\log }_{5}27\right]$. Основание $5>1$, функция $y={\log }_{5}t$ возрастает.

Корень $x=1$: $1={\log }_{5}5$, и так как $2<5<27$, то ${\log }_{5}2<{\log }_{5}5<{\log }_{5}27$. Корень лежит на отрезке.

Корень $x=3$: $3={\log }_{5}125>{\log }_{5}27$, так как $125>27$. Корень не подходит.

Ответ: а) $1$; $3$; б) $1$.