ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Ограничение: выражение под логарифмом положительно, $x^2-2x>0$.

По определению логарифма ${\log }_{2}A=3$ равносильно $A=2^3=8$:

$$x^2-2x=8.$$

Для корней этого уравнения выражение под логарифмом равно $8>0$, поэтому ограничение выполняется автоматически.

Выделим полный квадрат: прибавим к обеим частям $1$.

$$x^2-2x+1=9\iff (x-1{)}^2=3^2.$$

По формуле разности квадратов $(x-1{)}^2-3^2=(x-1-3)(x-1+3)=(x-4)(x+2)$, поэтому

$$(x-4)(x+2)=0\iff [\begin{array}{l}x=4,\\ x=-2.\end{array}$$

б) Сравним корни с концами отрезка $\left[{\log }_{2}0,1;{\log }_{2}13\right]$. Основание $2>1$, поэтому функция $y={\log }_{2}t$ возрастает: большему аргументу соответствует больший логарифм.

Корень $x=4$: $4={\log }_2{2}^4={\log }_{2}16>{\log }_{2}13$, так как $16>13$. Корень правее правого конца отрезка и не подходит.

Корень $x=-2$: $-2={\log }_2{2}^{-2}={\log }_2\frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{10}<\frac{1}{4}<13$, то

$${\log }_{2}0,1={\log }_2\frac{1}{10}<{\log }_2\frac{1}{4}<{\log }_{2}13,$$

и корень $-2$ принадлежит отрезку.

Ответ: а) $-2$; $4$; б) $-2$.