ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, по формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Получаем

$$2\sin x\cos x=\sqrt{2}\cos x.$$

Делить на $\cos x$ нельзя: так потерялись бы корни, при которых $\cos x=0$. Перенесём всё в левую часть и вынесем $\cos x$ за скобки:

$$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0\iff \cos x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Первое уравнение даёт $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ — верхнюю и нижнюю точки окружности. Во втором уравнении ордината $\frac{\sqrt{2}}{2}$ отвечает точкам $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) и $\frac{3\pi }{4}$ (II четверть):

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя. От начала к концу против часовой стрелки проходим III, IV и I четверти.

На дугу попадают нижняя точка, верхняя точка (конец отрезка) и точка $\frac{\pi }{4}$ из I четверти. Точка $\frac{3\pi }{4}$ из II четверти дугой не покрыта.

Найдём соответствующие числа. Нижней точке отвечает $-4\pi +\frac{3\pi }{2}=-\frac{5\pi }{2}$, точке I четверти — $-2\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{7\pi }{4}$, верхней точке — конец отрезка $-\frac{3\pi }{2}$.

Проверим соседние значения. Серия $\frac{\pi }{2}+\pi k$: $-\frac{7\pi }{2}<-3\pi$ и $-\frac{\pi }{2}>-\frac{3\pi }{2}$. Серия $\frac{\pi }{4}+2\pi k$: $-\frac{15\pi }{4}<-\frac{12\pi }{4}=-3\pi$ и $\frac{\pi }{4}>-\frac{3\pi }{2}$. Серия $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{13\pi }{4}<-\frac{12\pi }{4}=-3\pi$, а следующее значение $-\frac{5\pi }{4}>-\frac{6\pi }{4}=-\frac{3\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$; $\frac{\pi }{4}+2\pi k$; $\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{5\pi }{2}$; $-\frac{7\pi }{4}$; $-\frac{3\pi }{2}$.