ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и показательные выражения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

По формуле приведения $\cos (\pi -x)=-\cos x$: угол $\pi -x$ при малом положительном $x$ лежит во II четверти, где косинус отрицателен, а название функции при отсчёте от $\pi$ сохраняется. По свойству степени $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ получаем

$$16^{\cos x}+\frac{1}{16^{\cos x}}=\frac{17}{4}.$$

Сделаем замену $t=16^{\cos x}$. Показательная функция положительна, поэтому $t>0$:

$$t+\frac{1}{t}=\frac{17}{4}.$$

Умножим обе части на $4t>0$ — это равносильное преобразование:

$$4t^2-17t+4=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-17{)}^2-4\cdot 4\cdot 4=289-64=225=15^2,t_1=\frac{17-15}{8}=\frac{1}{4},t_2=\frac{17+15}{8}=4.$$

Оба значения положительны. Сделаем обратную замену и запишем правые части как степени числа $16$: так как $16=4^2$, то $4=16^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{4}=16^{-\frac{1}{2}}$.

$$[\begin{array}{l}16^{\cos x}=16^{\frac{1}{2}},\\ 16^{\cos x}=16^{-\frac{1}{2}}.\end{array}$$

Функция $y=16^u$ монотонна, поэтому степени равны только при равных показателях:

$$[\begin{array}{l}\cos x=\frac{1}{2},\\ \cos x=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Получились четыре точки окружности: $\frac{\pi }{3}$, $\frac{2\pi }{3}$, $\frac{4\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{3}$. Точки $\frac{\pi }{3}$ и $\frac{4\pi }{3}$ диаметрально противоположны, как и $-\frac{\pi }{3}$ и $\frac{2\pi }{3}$. Поэтому все решения можно записать короче: $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя. От начала к концу против часовой стрелки проходим III, IV и I четверти, поэтому на дугу попадают точки $\frac{4\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{3}$ и $\frac{\pi }{3}$, а точка II четверти $\frac{2\pi }{3}$ — нет.

Из серии $x=\frac{\pi }{3}+\pi k$ на отрезок попадают $\frac{4\pi }{3}$ и $\frac{7\pi }{3}$: соседние значения $\frac{\pi }{3}<\pi$ и $\frac{10\pi }{3}>\frac{5\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{3}+\pi k$ на отрезок попадает только $\frac{5\pi }{3}$: соседние значения $\frac{2\pi }{3}<\pi$ и $\frac{8\pi }{3}=\frac{16\pi }{6}>\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$.

На отрезке лежат $\frac{4\pi }{3}$, $\frac{5\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{4\pi }{3}$; $\frac{5\pi }{3}$; $\frac{7\pi }{3}$.