ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и логарифмы

Разбор — 2 балла

а) Запись ${\log }_2^2(\sin x)$ означает квадрат логарифма: ${\left({\log }_2(\sin x)\right)}^2$.

Ограничения: выражения под логарифмами положительны,

$$\{\begin{array}{l}\sin x>0,\\ {\sin }^{2}x>0.\end{array}$$

Второе неравенство следует из первого, поэтому ограничение одно: $\sin x>0$.

Приведём второй логарифм к основанию $2$. Так как $0,5=2^{-1}$, а ${\log }_{a^{-1}}b=-{\log }_{a}b$, то

$${\log }_{0,5}\left({\sin }^{2}x\right)=-{\log }_2\left({\sin }^{2}x\right)=-2{\log }_2(\sin x).$$

Последний переход — свойство логарифма степени ${\log }_a{b}^k=k{\log }_{a}b$, оно применимо, потому что $\sin x>0$. Уравнение принимает вид

$$4{\log }_2^2(\sin x)+6{\log }_2(\sin x)+2=0.$$

Разделим обе части на $2$ и сделаем замену $t={\log }_2(\sin x)$:

$$2t^2+3t+1=0.$$

Дискриминант $D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1$, корни

$$t_1=\frac{-3-1}{4}=-1,t_2=\frac{-3+1}{4}=-\frac{1}{2}.$$

Сделаем обратную замену. По определению логарифма

$$[\begin{array}{l}{\log }_2(\sin x)=-1,\\ {\log }_2(\sin x)=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}\sin x=2^{-1}=\frac{1}{2},\\ \sin x=2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Оба значения положительны, поэтому ограничение $\sin x>0$ выполнено.

Ординате $\frac{1}{2}$ на единичной окружности соответствуют точки $\frac{\pi }{6}$ (I четверть) и $\frac{5\pi }{6}$ (II четверть), ординате $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — точки $\frac{\pi }{4}$ и $\frac{3\pi }{4}$:

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-2\pi$ — правая точка. От начала к концу против часовой стрелки проходим II, III и IV четверти.

Значит, на дугу попадают только точки II четверти: $\frac{3\pi }{4}$ и $\frac{5\pi }{6}$. Точки I четверти $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{\pi }{4}$ дугой не покрыты.

Найдём соответствующие числа: $-4\pi +\frac{3\pi }{4}=-\frac{13\pi }{4}$ и $-4\pi +\frac{5\pi }{6}=-\frac{19\pi }{6}$.

Проверим двойным неравенством. В двенадцатых долях $\pi$ отрезок — это $\left[-\frac{42\pi }{12};-\frac{24\pi }{12}\right]$, и $-\frac{13\pi }{4}=-\frac{39\pi }{12}$, $-\frac{19\pi }{6}=-\frac{38\pi }{12}$ лежат внутри. Серии I четверти отрезок пропускают: $\frac{\pi }{6}-4\pi =-\frac{46\pi }{12}<-\frac{42\pi }{12}$ и $\frac{\pi }{6}-2\pi =-\frac{22\pi }{12}>-\frac{24\pi }{12}$; $\frac{\pi }{4}-4\pi =-\frac{45\pi }{12}<-\frac{42\pi }{12}$ и $\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{21\pi }{12}>-\frac{24\pi }{12}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$; $\frac{\pi }{4}+2\pi k$; $\frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{13\pi }{4}$; $-\frac{19\pi }{6}$.