ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Ограничения: тангенс и дробь $\frac{1}{\cos x}$ определены при $\cos x\ne 0$.

Запишем тангенс через синус и косинус и заменим ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ по основному тригонометрическому тождеству:

$${\mathrm{tg}}^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1-{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}.$$

Уравнение принимает вид

$$\frac{7\left(1-{\cos }^{2}x\right)}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{\cos x}+1=0.$$

Приведём к общему знаменателю ${\cos }^{2}x$: для этого второе слагаемое запишем как $\frac{\cos x}{{\cos }^{2}x}$, а единицу — как $\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}$:

$$\frac{7-7{\cos }^{2}x-\cos x+{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=0\iff \frac{-6{\cos }^{2}x-\cos x+7}{{\cos }^{2}x}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Умножим числитель на $-1$:

$$\{\begin{array}{l}6{\cos }^{2}x+\cos x-7=0,\\ \cos x\ne 0.\end{array}$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$ и $t\ne 0$. Решим квадратное уравнение $6t^2+t-7=0$:

$$D=1^2-4\cdot 6\cdot (-7)=1+168=169=13^2,t_1=\frac{-1+13}{12}=1,t_2=\frac{-1-13}{12}=-\frac{7}{6}.$$

Значение $t_2=-\frac{7}{6}<-1$ не подходит: косинус не бывает меньше $-1$. Значение $t_1=1$ подходит, причём $1\ne 0$, то есть ограничение выполнено. Получаем

$$\cos x=1\iff x=2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{5\pi }{2};-\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{5\pi }{2}=-2\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $-\pi$ — левая. От начала к концу против часовой стрелки проходим IV, I и II четверти, по пути попадая в правую точку окружности — точку серии $x=2\pi k$.

Правой точке на этой дуге соответствует число $-2\pi$. Соседние значения серии $-4\pi <-\frac{5\pi }{2}$ и $0>-\pi$ лежат вне отрезка.

Ответ: а) $2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-2\pi$.