ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Раскроем каждое слагаемое по формуле синуса суммы $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$:

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x,\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x,$$

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x.$$

Подставим в уравнение и перенесём всё в левую часть:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=0.$$

Коэффициенты при $\sin x$ и при $\cos x$ получились одинаковыми, вынесем их за скобки:

$$\frac{\sqrt{3}+1-\sqrt{2}}{2}\cdot \left(\sin x+\cos x\right)=0.$$

Числовой множитель не равен нулю: $\sqrt{3}>\sqrt{2}$, поэтому $\sqrt{3}+1-\sqrt{2}>1>0$. Разделим на него обе части:

$$\sin x+\cos x=0.$$

Если бы $\cos x=0$, то $\sin x=\pm 1$ и сумма была бы $\pm 1\ne 0$. Значит, у корней $\cos x\ne 0$, и деление на $\cos x$ не теряет решений:

$$\mathrm{tg}x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Тот же результат можно получить формулой суммы синусов: $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos \frac{\pi }{12}$. Тогда уравнение принимает вид $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\left(2\cos \frac{\pi }{12}-1\right)=0$, где $2\cos \frac{\pi }{12}-1>2\cos \frac{\pi }{3}-1=0$, и остаётся $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0$.

б) Отрезок $\left[-\frac{3\pi }{2};0\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{3\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $0$ — правая. От начала к концу против часовой стрелки проходим II, III и IV четверти.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки: $\frac{3\pi }{4}$ во II четверти и $-\frac{\pi }{4}$ в IV четверти. Обе лежат на дуге.

Точке II четверти на этой дуге отвечает число $\frac{3\pi }{4}-2\pi =-\frac{5\pi }{4}$, точке IV четверти — $-\frac{\pi }{4}$. Соседние значения серии $-\frac{9\pi }{4}<-\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{3\pi }{4}>0$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежат $-\frac{5\pi }{4}$ и $-\frac{\pi }{4}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{5\pi }{4}$; $-\frac{\pi }{4}$.