ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — показательные уравнения

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Запишем все степени через $3^x$ по свойствам степени:

$$27^x={\left(3^3\right)}^x={\left(3^x\right)}^3,9^x={\left(3^x\right)}^2,3^{x+2}=3^2\cdot 3^x=9\cdot 3^x.$$

Уравнение принимает вид

$${\left(3^x\right)}^3-5\cdot {\left(3^x\right)}^2-9\cdot 3^x+45=0.$$

Сделаем замену $t=3^x$. Показательная функция принимает только положительные значения, поэтому $t>0$. Получаем кубическое уравнение

$$t^3-5t^2-9t+45=0.$$

Разложим левую часть на множители группировкой: из первых двух слагаемых вынесем $t^2$, из последних двух — $-9$:

$$t^2(t-5)-9(t-5)=0\iff (t-5)\left(t^2-9\right)=0\iff (t-5)(t-3)(t+3)=0.$$

Отсюда $t=5$, $t=3$ или $t=-3$. Значение $t=-3$ не удовлетворяет условию $t>0$: уравнение $3^x=-3$ решений не имеет.

Сделаем обратную замену:

$$[\begin{array}{l}{3}^x=3,\\ 3^x=5\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=1,\\ x={\log }_{3}5.\end{array}$$

б) Сравним корни с концами отрезка $\left[{\log }_{3}4;{\log }_{3}10\right]$. Функция $y={\log }_{3}t$ возрастает, так как основание $3>1$.

Корень $x=1$: $1={\log }_{3}3<{\log }_{3}4$, поскольку $3<4$. Корень левее левого конца отрезка и не подходит.

Корень $x={\log }_{3}5$: так как $4<5<10$, то

$${\log }_{3}4<{\log }_{3}5<{\log }_{3}10,$$

и этот корень принадлежит отрезку.

Ответ: а) $1$; ${\log }_{3}5$; б) ${\log }_{3}5$.