ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Ограничение: выражение под логарифмом положительно, $x^2-2x>0$.

Так как $1={\log }_{3}3$, уравнение можно записать в виде

$${\log }_3\left(x^2-2x\right)={\log }_{3}3.$$

Функция $y={\log }_{3}t$ монотонна, поэтому равенство логарифмов равносильно равенству аргументов (при положительном аргументе):

$$x^2-2x=3.$$

Для любого корня этого уравнения выражение под логарифмом равно $3>0$, поэтому ограничение выполняется автоматически, отдельно решать неравенство $x^2-2x>0$ не нужно.

Решим квадратное уравнение $x^2-2x-3=0$. По теореме, обратной теореме Виета, ищем числа с суммой $2$ и произведением $-3$. Это $-1$ и $3$: действительно, $-1+3=2$ и $(-1)\cdot 3=-3$. Значит, $x=-1$ или $x=3$.

б) Сравним корни с концами отрезка $\left[{\log }_{2}0,2;{\log }_{3}5\right]$. Основания $2$ и $3$ больше $1$, поэтому функции $y={\log }_{2}t$ и $y={\log }_{3}t$ возрастают: большему аргументу соответствует больший логарифм.

Корень $x=-1$. Запишем его логарифмами с основаниями $2$ и $3$:

$$-1={\log }_2\frac{1}{2}>{\log }_2\frac{1}{5}={\log }_{2}0,2,\text{так как}\frac{1}{2}>\frac{1}{5};$$

$$-1={\log }_3\frac{1}{3}<{\log }_{3}5,\text{так как}\frac{1}{3}<5.$$

Значит, ${\log }_{2}0,2<-1<{\log }_{3}5$, и корень $-1$ лежит на отрезке.

Корень $x=3$:

$$3={\log }_{3}27>{\log }_{3}5,$$

поэтому $3$ правее правого конца отрезка и не подходит.

Ответ: а) $-1$; $3$; б) $-1$.