ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и формулой косинуса суммы:

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos x\cos \frac{\pi }{4}-\sin x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x-\sin x\right).$$

Единицу запишем по основному тригонометрическому тождеству: $1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x-\sin x\right)-\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)=0.$$

Сгруппируем слагаемые без $\sqrt{2}$ и вынесем минус:

$$-\left({\cos }^{2}x-2\sin x\cos x+{\sin }^{2}x\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x-\sin x\right)=0.$$

В скобках стоит полный квадрат разности: ${\cos }^{2}x-2\sin x\cos x+{\sin }^{2}x=(\cos x-\sin x{)}^2$. Получаем

$$-{\left(\cos x-\sin x\right)}^2+\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos x-\sin x\right)=0.$$

Вынесем общий множитель $\cos x-\sin x$:

$$\left(\cos x-\sin x\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos x+\sin x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x-\sin x=0,\\ \cos x-\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Решим первое уравнение: $\sin x=\cos x$. Если бы $\cos x=0$, то и $\sin x=0$, а синус и косинус одного угла одновременно в ноль не обращаются. Значит, $\cos x\ne 0$, и деление на $\cos x$ равносильно:

$$\mathrm{tg}x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Во втором уравнении умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и заметим, что $\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}$:

$$\cos x\cos \frac{\pi }{4}-\sin x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}.$$

Отсюда

$$[\begin{array}{l}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{3}+2\pi k\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+2\pi k,\\ x=-\frac{7\pi }{12}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Тот же результат получается заменой $t=x+\frac{\pi }{4}$. Тогда $2x=2t-\frac{\pi }{2}$ и по формуле приведения $\sin \left(2t-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos 2t=1-2{\cos }^{2}t$. Уравнение превращается в $1-2{\cos }^{2}t+\cos t-1=0$, то есть $\cos t(1-2\cos t)=0$. Условие $\cos t=0$ даёт $x=\frac{\pi }{4}+\pi k$, а $\cos t=\frac{1}{2}$ — две другие серии.

б) Отрезок $\left[-\frac{9\pi }{2};-3\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{9\pi }{2}=-4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $-3\pi =-4\pi +\pi$ — левая точка. От начала к концу против часовой стрелки проходим IV, I и II четверти.

Серия $\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки: $\frac{\pi }{4}$ (I четверть) лежит на дуге, $\frac{5\pi }{4}$ (III четверть) — нет. Точка $\frac{\pi }{12}$ лежит в I четверти и на дуге. Точка $-\frac{7\pi }{12}$ лежит в III четверти, так как $-\pi <-\frac{7\pi }{12}<-\frac{\pi }{2}$, и дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие точкам на дуге: $-4\pi +\frac{\pi }{12}=-\frac{47\pi }{12}$ и $-4\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{15\pi }{4}$.

Проверим двойными неравенствами, что других корней нет. Для серии $\frac{\pi }{4}+\pi k$ соседние значения $-\frac{19\pi }{4}<-\frac{18\pi }{4}=-\frac{9\pi }{2}$ и $-\frac{11\pi }{4}>-\frac{12\pi }{4}=-3\pi$. Для серии $\frac{\pi }{12}+2\pi k$: $-\frac{71\pi }{12}<-\frac{54\pi }{12}$ и $-\frac{23\pi }{12}>-\frac{36\pi }{12}$. Серия $-\frac{7\pi }{12}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{55\pi }{12}<-\frac{54\pi }{12}=-\frac{9\pi }{2}$, а следующее значение $-\frac{31\pi }{12}>-\frac{36\pi }{12}=-3\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\pi k$; $\frac{\pi }{12}+2\pi k$; $-\frac{7\pi }{12}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{47\pi }{12}$; $-\frac{15\pi }{4}$.