ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Раскроем первое слагаемое по формуле косинуса суммы $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$:

$$\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\cos x\cdot \cos \frac{\pi }{6}-\sin x\cdot \sin \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x.$$

Ко второму слагаемому применим формулу приведения. Угол $\pi +x$ при малом положительном $x$ лежит в III четверти, где косинус отрицателен, а название функции при отсчёте от $\pi$ сохраняется: $\cos (\pi +x)=-\cos x$.

Подставим оба выражения в уравнение:

$$4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x\right)-2\sqrt{3}\cos x=1;$$

$$2\sqrt{3}\cos x-2\sin x-2\sqrt{3}\cos x=1.$$

Слагаемые с $\cos x$ взаимно уничтожаются, остаётся

$$-2\sin x=1\iff \sin x=-\frac{1}{2}.$$

Ординате $-\frac{1}{2}$ на единичной окружности соответствуют две точки: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{6}$) и в III четверти (угол $\frac{7\pi }{6}$). Поэтому

$$[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{7\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{9\pi }{2};6\pi \right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $6\pi$ — правая точка. От начала к концу против часовой стрелки проходим II, III и IV четверти, поэтому обе точки решения — в III и IV четвертях — лежат на дуге.

Найдём соответствующие числа. Точке III четверти отвечает $4\pi +\frac{7\pi }{6}=\frac{31\pi }{6}$, точке IV четверти — $6\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{35\pi }{6}$.

Проверим соседние значения серий. Для серии $\frac{7\pi }{6}+2\pi k$: $\frac{31\pi }{6}-2\pi =\frac{19\pi }{6}<\frac{27\pi }{6}=\frac{9\pi }{2}$ и $\frac{31\pi }{6}+2\pi =\frac{43\pi }{6}>6\pi$. Для серии $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$: $\frac{35\pi }{6}-2\pi =\frac{23\pi }{6}<\frac{9\pi }{2}$ и $\frac{35\pi }{6}+2\pi =\frac{47\pi }{6}>6\pi$. Других корней на отрезке нет.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$; $\frac{7\pi }{6}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{31\pi }{6}$; $\frac{35\pi }{6}$.