ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$.

Косинус — чётная функция, поэтому $\cos (-x)=\cos x$. По основному тригонометрическому тождеству ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$. Подставим:

$$2\cos x-2\sqrt{3}\cos x-4\left(1-{\cos }^{2}x\right)=\sqrt{3}-4.$$

Раскроем скобки и перенесём всё в левую часть; слагаемые $-4$ слева и справа сократятся:

$$4{\cos }^{2}x+2\cos x-2\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}=0.$$

Сделаем замену $t=\cos x$, где $-1⩽t⩽1$:

$$4t^2+2t-2\sqrt{3}t-\sqrt{3}=0.$$

Разложим левую часть на множители группировкой: из первых двух слагаемых вынесем $2t$, из последних двух — $-\sqrt{3}$:

$$2t(2t+1)-\sqrt{3}(2t+1)=0\iff (2t+1)\left(2t-\sqrt{3}\right)=0.$$

Отсюда $t=-\frac{1}{2}$ или $t=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Оба значения лежат на отрезке $[-1;1]$, значит, оба подходят. Возвращаемся к $x$:

$$[\begin{array}{l}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \cos x=-\frac{1}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}$, отберём корни на единичной окружности. Начало $2\pi$ — правая точка окружности, конец $\frac{7\pi }{2}=4\pi -\frac{\pi }{2}$ — нижняя. От начала к концу против часовой стрелки проходим I, II и III четверти.

На эту дугу попадают точка $\frac{\pi }{6}$ (I четверть), $\frac{2\pi }{3}$ (II четверть) и $-\frac{2\pi }{3}$ (III четверть). Точка $-\frac{\pi }{6}$ лежит в IV четверти и дугой не покрыта.

Из серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на отрезок попадает только $2\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{13\pi }{6}$: соседние значения $\frac{\pi }{6}<2\pi$ и $\frac{25\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{11\pi }{6}<2\pi$, а следующее значение $\frac{23\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$.

Из серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $2\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{8\pi }{3}$: соседние значения $\frac{2\pi }{3}<2\pi$ и $\frac{14\pi }{3}>\frac{7\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $4\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{10\pi }{3}$: соседние значения $\frac{4\pi }{3}<2\pi$ и $\frac{16\pi }{3}>\frac{7\pi }{2}$. Заметим, что $\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}<\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$.

На отрезке лежат $\frac{13\pi }{6}$, $\frac{8\pi }{3}$, $\frac{10\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$; $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{13\pi }{6}$; $\frac{8\pi }{3}$; $\frac{10\pi }{3}$.