ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Все функции в уравнении определены при любых $x$, поэтому ограничений нет.

Упростим аргументы по формулам приведения. Угол $\pi -x$ при малом положительном $x$ лежит во II четверти, где синус положителен, а название функции при отсчёте от $\pi$ не меняется: $\sin (\pi -x)=\sin x$. При отсчёте от $\frac{\pi }{2}$ синус меняется на косинус: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$. Уравнение принимает вид

$$1+\sin x+\cos x+\sin 2x+\cos 2x=0.$$

Применим формулы двойного угла: $\sin 2x=2\sin x\cos x$ и $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Тогда единица в начале сократится с $-1$ из косинуса двойного угла:

$$\sin x+\cos x+2\sin x\cos x+2{\cos }^{2}x=0.$$

Из двух последних слагаемых вынесем общий множитель $2\cos x$:

$$(\sin x+\cos x)+2\cos x(\sin x+\cos x)=0.$$

Теперь общий множитель $\sin x+\cos x$ есть у обоих слагаемых, вынесем его за скобки:

$$(\sin x+\cos x)(1+2\cos x)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю (оба множителя определены при всех $x$):

$$[\begin{array}{l}\sin x+\cos x=0,\\ 1+2\cos x=0.\end{array}$$

Решим первое уравнение. Если бы $\cos x=0$, то $\sin x=\pm 1$ и сумма $\sin x+\cos x=\pm 1\ne 0$. Значит, у корней этого уравнения $\cos x\ne 0$, и обе части можно разделить на $\cos x$ без потери корней:

$$\mathrm{tg}x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Второе уравнение даёт $\cos x=-\frac{1}{2}$. Абсциссе $-\frac{1}{2}$ на единичной окружности соответствуют две точки — во II и III четвертях:

$$x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\pi ;\frac{\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $-\pi$ — левая точка окружности, конец $\frac{\pi }{2}$ — верхняя. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим III, IV и I четверти.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт на окружности две диаметрально противоположные точки: $-\frac{\pi }{4}$ в IV четверти и $\frac{3\pi }{4}$ во II четверти. На дуге лежит только первая. Из точек $\pm \frac{2\pi }{3}$ на дуге лежит только точка III четверти $-\frac{2\pi }{3}$.

Из серии $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{\pi }{4}$: соседние значения $-\frac{5\pi }{4}<-\pi$ и $\frac{3\pi }{4}>\frac{\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{4\pi }{3}<-\pi$, а следующее значение $\frac{2\pi }{3}>\frac{\pi }{2}$.

Из серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ на отрезок попадает только $-\frac{2\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{8\pi }{3}<-\pi$ и $\frac{4\pi }{3}>\frac{\pi }{2}$.

На отрезке лежат $-\frac{2\pi }{3}$ и $-\frac{\pi }{4}$.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{4}+\pi k$; $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{2\pi }{3}$; $-\frac{\pi }{4}$.