ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Раскроем синус суммы, учитывая $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin x+\cos x.$$

Уравнение принимает вид

$$\sin x+\cos x+2{\sin }^{2}x=\sin x+2.$$

Вычтем $\sin x$ из обеих частей и перенесём $2$ влево:

$$\cos x+2{\sin }^{2}x-2=0.$$

Чтобы осталась одна функция, заменим ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ по основному тригонометрическому тождеству:

$$\cos x+2\left(1-{\cos }^{2}x\right)-2=0\iff \cos x-2{\cos }^{2}x=0\iff \cos x\left(1-2\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Косинус равен $\frac{1}{2}$ в двух точках, симметричных относительно горизонтальной оси: $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$, поэтому $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$. Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{7\pi }{2}-2\pi =\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $2\pi$ изображается правой точкой окружности, конец $\frac{7\pi }{2}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижней точкой. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт верхнюю и нижнюю точки — обе на дуге (нижняя совпадает с концом отрезка). Точка I четверти (серия $\frac{\pi }{3}+2\pi k$) лежит на дуге, а точка IV четверти (серия $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$) дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Точка I четверти — $2\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{3}$, верхняя точка — $2\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{5\pi }{2}$, нижняя точка — конец отрезка $\frac{7\pi }{2}$.

Проверим соседние значения серий. Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают $\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{7\pi }{2}$: соседние значения $\frac{3\pi }{2}<2\pi$ и $\frac{9\pi }{2}>\frac{7\pi }{2}$. Из серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ попадает только $\frac{7\pi }{3}$: соседние значения $\frac{\pi }{3}<2\pi$ и $\frac{13\pi }{3}>\frac{7\pi }{2}$. Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{5\pi }{3}<2\pi$, а следующее значение $\frac{11\pi }{3}=\frac{22\pi }{6}>\frac{21\pi }{6}=\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi }{3}$; $\frac{5\pi }{2}$; $\frac{7\pi }{2}$.