ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Ключевое наблюдение: аргумент левой части раскладывается на два угла, которые уже есть в правой части: $2x+\frac{\pi }{6}=x+\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$. Распишем синус суммы по формуле $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ при $\alpha =x$, $\beta =x+\frac{\pi }{6}$:

$$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\cos x\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right).$$

Уравнение принимает вид

$$\sin x\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\cos x\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\cos x+\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\sin x.$$

Вычтем из обеих частей одинаковое слагаемое $\sin x\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$ и перенесём $\cos x$ влево:

$$\cos x\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\cos x=0\iff \cos x\left(\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$.

Синус равен $1$ только в верхней точке окружности, поэтому $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2\pi k$, откуда $x=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}+2\pi k=\frac{\pi }{3}+2\pi k$. Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-5\pi ;-\frac{7\pi }{2}\right]$ имеет длину $-\frac{7\pi }{2}+5\pi =\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-5\pi =-6\pi +\pi$ изображается левой точкой окружности, конец $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхней точкой. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через III, IV и I четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт нижнюю и верхнюю точки — обе на дуге (верхняя совпадает с концом отрезка). Точка I четверти (серия $\frac{\pi }{3}+2\pi k$) тоже лежит на дуге.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Нижняя точка — $-4\pi -\frac{\pi }{2}=-\frac{9\pi }{2}$, точка I четверти — $-4\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{11\pi }{3}$, верхняя точка — конец отрезка $-\frac{7\pi }{2}$.

Проверим соседние значения серий. Для серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$: $-\frac{9\pi }{2}-\pi =-\frac{11\pi }{2}<-5\pi$ и $-\frac{7\pi }{2}+\pi =-\frac{5\pi }{2}>-\frac{7\pi }{2}$. Для серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$: $-\frac{11\pi }{3}-2\pi =-\frac{17\pi }{3}<-5\pi$ и $-\frac{11\pi }{3}+2\pi =-\frac{5\pi }{3}>-\frac{7\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{9\pi }{2}$; $-\frac{11\pi }{3}$; $-\frac{7\pi }{2}$.