ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем синусы суммы и разности, учитывая $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x+\cos x\right),\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x-\cos x\right).$$

Перемножим их по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ и воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$:

$$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2\left({\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x\right)=-\frac{1}{2}\left({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\right)=-\frac{1}{2}\cos 2x.$$

Уравнение принимает вид

$$-\frac{1}{2}\cos x\cos 2x=\cos 2x\iff \frac{1}{2}\cos x\cos 2x+\cos 2x=0.$$

Вынесем общий множитель $\cos 2x$ за скобки (делить на $\cos 2x$ нельзя — потеряем корни, где $\cos 2x=0$) и умножим обе части на $2$:

$$\cos 2x\left(\frac{1}{2}\cos x+1\right)=0\iff \cos 2x\left(\cos x+2\right)=0.$$

Второй множитель в ноль не обращается: так как $\cos x⩾-1$, то $\cos x+2⩾1>0$ (уравнение $\cos x=-2$ решений не имеет). Значит, уравнение равносильно

$$\cos 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+\pi k\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $-\frac{5\pi }{2}+4\pi =\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-4\pi$ изображается правой точкой окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижней точкой. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}$ даёт четыре точки — середины всех четвертей: $\frac{\pi }{4}$, $\frac{3\pi }{4}$, $\frac{5\pi }{4}$, $\frac{7\pi }{4}$. На дуге лежат точки I, II и III четвертей, точка IV четверти дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам: $-4\pi +\frac{\pi }{4}=-\frac{15\pi }{4}$, $-4\pi +\frac{3\pi }{4}=-\frac{13\pi }{4}$, $-4\pi +\frac{5\pi }{4}=-\frac{11\pi }{4}$.

Проверим соседние значения серии: $-\frac{15\pi }{4}-\frac{\pi }{2}=-\frac{17\pi }{4}<-\frac{16\pi }{4}=-4\pi$ и $-\frac{11\pi }{4}+\frac{\pi }{2}=-\frac{9\pi }{4}>-\frac{10\pi }{4}=-\frac{5\pi }{2}$ — вне отрезка.

Ответ: а) $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi k}{2}$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{15\pi }{4}$; $-\frac{13\pi }{4}$; $-\frac{11\pi }{4}$.