ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим множители по формулам приведения.

$\sin (\pi +x)=-\sin x$: угол $\pi$ отсчитывается от горизонтальной оси, поэтому синус остаётся синусом, а при малых $x>0$ угол $\pi +x$ лежит в III четверти, где синус отрицателен.

$\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\cos x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}+x$ лежит во II четверти, где синус положителен.

Уравнение принимает вид

$$-2\sin x\cos x=\sin x\iff 2\sin x\cos x+\sin x=0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки. Делить на $\sin x$ нельзя: так потерялись бы корни, где $\sin x=0$.

$$\sin x\left(2\cos x+1\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Синус равен нулю в правой и левой точках окружности: $x=\pi n$. Для второго уравнения $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$, поэтому $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$. Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\pi n,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}n,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[2\pi ;\frac{7\pi }{2}\right]$, с помощью двойных неравенств: для каждой серии найдём все целые значения параметра, при которых корень лежит на отрезке. Делим все части неравенства на положительное число, знаки при этом сохраняются.

Серия $x=\pi n$:

$$2\pi ⩽\pi n⩽\frac{7\pi }{2}\iff 2⩽n⩽3,5.$$

Подходят $n=2$ и $n=3$, корни $x=2\pi$ и $x=3\pi$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$:

$$2\pi ⩽\frac{2\pi }{3}+2\pi k⩽\frac{7\pi }{2}\iff \frac{4\pi }{3}⩽2\pi k⩽\frac{17\pi }{6}\iff \frac{2}{3}⩽k⩽\frac{17}{12}.$$

Так как $\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}$, подходит единственное целое $k=1$. Корень: $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{8\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$:

$$2\pi ⩽-\frac{2\pi }{3}+2\pi k⩽\frac{7\pi }{2}\iff \frac{8\pi }{3}⩽2\pi k⩽\frac{25\pi }{6}\iff \frac{4}{3}⩽k⩽\frac{25}{12}.$$

Здесь $\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$ и $\frac{25}{12}=2\frac{1}{12}$, подходит только $k=2$. Корень: $x=-\frac{2\pi }{3}+4\pi =\frac{10\pi }{3}$.

Проверим результат на единичной окружности. Отрезок имеет длину $\frac{7\pi }{2}-2\pi =\frac{3\pi }{2}$: начало $2\pi$ — правая точка окружности, конец $\frac{7\pi }{2}=2\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка, дуга проходит через I, II и III четверти. На ней лежат правая и левая точки, а также точки II и III четвертей — всего четыре корня, как и получилось.

Ответ: а) $\pi n$, $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $n,k\in \mathbb{Z}$; б) $2\pi$; $\frac{8\pi }{3}$; $3\pi$; $\frac{10\pi }{3}$.