ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

В уравнении остальные слагаемые выражены через $\cos x$, поэтому и косинус двойного угла распишем через косинус: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Подставим и раскроем скобки:

$$4{\cos }^{3}x-2\left(2{\cos }^{2}x-1\right)+\cos x=2\iff 4{\cos }^{3}x-4{\cos }^{2}x+2+\cos x=2.$$

Числа $2$ в обеих частях сокращаются:

$$4{\cos }^{3}x-4{\cos }^{2}x+\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки. Делить на $\cos x$ нельзя: так потерялись бы корни, где $\cos x=0$.

$$\cos x\left(4{\cos }^{2}x-4\cos x+1\right)=0.$$

В скобке полный квадрат по формуле $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$ при $a=2\cos x$, $b=1$:

$$\cos x{\left(2\cos x-1\right)}^2=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ 2\cos x-1=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Косинус равен $\frac{1}{2}$ в двух точках, симметричных относительно горизонтальной оси: $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$, поэтому $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$. Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $-\frac{5\pi }{2}+4\pi =\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-4\pi$ изображается правой точкой окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижней точкой. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт верхнюю и нижнюю точки — обе на дуге (нижняя совпадает с концом отрезка). Точка I четверти (серия $\frac{\pi }{3}+2\pi k$) лежит на дуге, а точка IV четверти (серия $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$) дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Точка I четверти — $-4\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{11\pi }{3}$, верхняя точка — $-4\pi +\frac{\pi }{2}=-\frac{7\pi }{2}$, нижняя точка — конец отрезка $-\frac{5\pi }{2}$.

Проверим соседние значения серий. Для серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$: $-\frac{7\pi }{2}-\pi =-\frac{9\pi }{2}<-4\pi$ и $-\frac{5\pi }{2}+\pi =-\frac{3\pi }{2}>-\frac{5\pi }{2}$. Для серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$: $-\frac{17\pi }{3}<-4\pi$ и $-\frac{5\pi }{3}>-\frac{5\pi }{2}$. Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{13\pi }{3}<-\frac{12\pi }{3}=-4\pi$, а следующее значение $-\frac{7\pi }{3}=-\frac{14\pi }{6}>-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{3}$; $-\frac{7\pi }{2}$; $-\frac{5\pi }{2}$.