ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим косинус. Косинус — чётная функция, поэтому $\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$. По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}-x$ лежит в I четверти, где косинус положителен.

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Перенесём всё в левую часть:

$$2\sin x\cos x+2\sin x-\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых и вынесем общие множители $2\sin x$ и $-\sqrt{3}$:

$$2\sin x\left(\cos x+1\right)-\sqrt{3}\left(\cos x+1\right)=0\iff \left(\cos x+1\right)\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=-1,\\ \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Косинус равен $-1$ только в левой точке окружности: $x=\pi +2\pi k$. Синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в I четверти (угол $\frac{\pi }{3}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\pi +2\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-3\pi ;-\frac{3\pi }{2}\right]$ имеет длину $-\frac{3\pi }{2}+3\pi =\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-3\pi =-4\pi +\pi$ изображается левой точкой окружности, конец $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхней точкой. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через III, IV и I четверти.

Левая точка (серия $\pi +2\pi k$) совпадает с началом дуги. Точка I четверти (серия $\frac{\pi }{3}+2\pi k$) лежит на дуге, а точка II четверти (серия $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$) дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Левая точка — начало отрезка $-3\pi$, точка I четверти — $-2\pi +\frac{\pi }{3}=-\frac{5\pi }{3}$.

Проверим соседние значения серий. Из серии $x=\pi +2\pi k$ на отрезок попадает только $-3\pi$: соседние значения $-5\pi <-3\pi$ и $-\pi >-\frac{3\pi }{2}$. Из серии $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ попадает только $-\frac{5\pi }{3}$: соседние значения $-\frac{11\pi }{3}<-3\pi$ и $\frac{\pi }{3}>-\frac{3\pi }{2}$. Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{10\pi }{3}<-3\pi$, а следующее значение $-\frac{4\pi }{3}>-\frac{3\pi }{2}$.

Ответ: а) $\pi +2\pi k$, $\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$; $-\frac{5\pi }{3}$.