ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, сводящаяся к квадратному

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция, поэтому $\sin (-x)=-\sin x$. Чтобы в уравнении осталась одна функция, заменим ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ по основному тригонометрическому тождеству:

$$-2\sin x+2\sqrt{3}\sin x-4\left(1-{\sin }^{2}x\right)=\sqrt{3}-4\iff -2\sin x+2\sqrt{3}\sin x-4+4{\sin }^{2}x=\sqrt{3}-4.$$

Числа $-4$ в обеих частях сокращаются. Перенесём $\sqrt{3}$ влево и упорядочим слагаемые:

$$4{\sin }^{2}x-2\sin x+2\sqrt{3}\sin x-\sqrt{3}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых и вынесем общие множители:

$$2\sin x\left(2\sin x-1\right)+\sqrt{3}\left(2\sin x-1\right)=0\iff \left(2\sin x-1\right)\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0.$$

Можно было сделать замену $t=\sin x$ и решить квадратное уравнение $4t^2+\left(2\sqrt{3}-2\right)t-\sqrt{3}=0$ через дискриминант — получились бы те же значения, но группировка короче.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=\frac{1}{2},\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Синус равен $\frac{1}{2}$ в I четверти (угол $\frac{\pi }{6}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$). Синус равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ в IV четверти (угол $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\pi }{3}$) и в III четверти (угол $\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$, или, что то же самое, $-\frac{2\pi }{3}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{\pi }{2};\pi \right]$ имеет длину $\pi +\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{\pi }{2}$ изображается нижней точкой окружности, конец $\pi$ — левой точкой. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через IV, I и II четверти.

Точки IV, I и II четвертей (серии $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{\pi }{6}+2\pi k$ и $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$) лежат на дуге, а точка III четверти (серия $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$) дугой не покрыта.

Дуга целиком лежит в пределах одного оборота от $-\frac{\pi }{2}$ до $\pi$, поэтому отмеченным точкам соответствуют сами значения при $k=0$: $-\frac{\pi }{3}$, $\frac{\pi }{6}$ и $\frac{5\pi }{6}$.

Проверим соседние значения серий. Для серии $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$: $-\frac{7\pi }{3}<-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{5\pi }{3}>\pi$. Для серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$: $-\frac{11\pi }{6}<-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{13\pi }{6}>\pi$. Для серии $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$: $-\frac{7\pi }{6}<-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{17\pi }{6}>\pi$. Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{2\pi }{3}=-\frac{4\pi }{6}<-\frac{3\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}$, а следующее значение $\frac{4\pi }{3}>\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{\pi }{3}$; $\frac{\pi }{6}$; $\frac{5\pi }{6}$.