a) Решите уравнение log₂₅²(x⁴)+log_0,2(x⁸)+3=0. б) Найдите все корни… — 14 задание ЕГЭ профиль

№14 Логарифмические уравнения средняя 2026 развёрнутое

a) Решите уравнение $lo g_{25}^{2} (x^{4}) + lo g_{0, 2} (x^{8}) + 3 = 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[- 2, 3; 11, 3] .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ: аргументы логарифмов положительны.

${x^{4} > 0, x^{8} > 0 \Leftrightarrow x \neq = 0.$

Запись $lo g_{25}^{2} (x^{4})$ означает квадрат логарифма: $(lo g_{25} (x^{4}))^{2}$ .

Приведём оба логарифма к основанию $5$ . Воспользуемся свойствами $lo g_{a^{m}} b = \frac{1}{m} lo g_{a} b$ и $lo g_{a} b^{n} = n lo g_{a} b$ (при $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ ).

Так как $25 = 5^{2}$ , то $lo g_{25} (x^{4}) = \frac{1}{2} lo g_{5} (x^{4})$ , и после возведения в квадрат

$lo g_{25}^{2} (x^{4}) = \frac{1}{4} lo g_{5}^{2} (x^{4}) .$

Так как $0, 2 = \frac{1}{5} = 5^{- 1}$ и $x^{8} = (x^{4})^{2}$ , где $x^{4} > 0$ на ОДЗ, то

$lo g_{0, 2} (x^{8}) = - lo g_{5} (x^{4})^{2} = - 2 lo g_{5} (x^{4}) .$

Уравнение принимает вид

$\frac{1}{4} lo g_{5}^{2} (x^{4}) - 2 lo g_{5} (x^{4}) + 3 = 0.$

Умножим обе части на $4$ и сделаем замену $t = lo g_{5} (x^{4})$ :

$t^{2} - 8 t + 12 = 0.$

Найдём дискриминант:

$D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 12 = 64 - 48 = 16 = 4^{2}, t_{1} = \frac{8 - 4}{2} = 2, t_{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6.$

Сделаем обратную замену и воспользуемся определением логарифма ( $lo g_{5} A = c \Leftrightarrow A = 5^{c}$ ):

$[lo g_{5} (x^{4}) = 2, lo g_{5} (x^{4}) = 6 \Leftrightarrow [x^{4} = 5^{2}, x^{4} = 5^{6} .$

Так как $x^{4} = (x^{2})^{2}$ и $x^{2} ⩾ 0$ , из $x^{4} = 5^{2}$ следует $x^{2} = 5$ , а из $x^{4} = 5^{6}$ следует $x^{2} = 5^{3} = 125$ (отрицательные значения $x^{2} = - 5$ и $x^{2} = - 125$ невозможны). Тогда

$[x^{2} = 5, x^{2} = 125 \Leftrightarrow [x = \pm 5, x = \pm 55 .$

Здесь $125 = 25 \cdot 5 = 55$ . Все четыре числа отличны от нуля, то есть входят в ОДЗ.

б) Проверим каждый корень: лежит ли он на отрезке $[- 2, 3; 11, 3]$ .

$x = 5$ . Так как $0 < 5 < 9 = 3$ , то $- 2, 3 < 0 < 5 < 3 < 11, 3$ , и корень лежит на отрезке.
$x = - 5$ . Сравним положительные числа $5$ и $2, 3$ по квадратам: $(5)^{2} = 5$ , $2, 3^{2} = 5, 29$ . Так как $5 < 5, 29$ , то $5 < 2, 3$ , откуда $- 2, 3 < - 5 < 0 < 11, 3$ , и корень лежит на отрезке.
$x = 55$ . Сравним положительные числа $55$ и $11, 3$ по квадратам: $(55)^{2} = 125$ , $11, 3^{2} = 127, 69$ . Так как $125 < 127, 69$ , то $55 < 11, 3$ , и корень лежит на отрезке.
$x = - 55$ . Так как $5 > 1$ , то $55 > 5$ , и $- 55 < - 5 < - 2, 3$ : корень левее отрезка и не подходит.

Решение на числовой прямой

Ответ: а) $\pm 5$ , $\pm 55$ ; б) $- 5$ ; $5$ ; $55$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Сообщить об ошибке

Ещё задания №14