ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому синус меняется на косинус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}-x$ лежит в I четверти, где синус положителен. Перенесём всё в левую часть:

$$7\cos x-4\sqrt{3}\sin x\cos x-4{\cos }^{3}x=0.$$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки. Делить на $\cos x$ нельзя: так потерялись бы корни, где $\cos x=0$.

$$\cos x\left(7-4\sqrt{3}\sin x-4{\cos }^{2}x\right)=0.$$

В скобке есть и синус, и косинус. Заменим ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ по основному тригонометрическому тождеству, чтобы в скобке остался только синус:

$$7-4\sqrt{3}\sin x-4\left(1-{\sin }^{2}x\right)=4{\sin }^{2}x-4\sqrt{3}\sin x+3.$$

Это полный квадрат по формуле $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$ при $a=2\sin x$, $b=\sqrt{3}$: действительно, $a^2=4{\sin }^{2}x$, $2ab=4\sqrt{3}\sin x$, $b^2=3$. Уравнение принимает вид

$$\cos x{\left(2\sin x-\sqrt{3}\right)}^2=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ 2\sin x-\sqrt{3}=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Синус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в I четверти (угол $\frac{\pi }{3}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[\frac{5\pi }{2};4\pi \right]$ имеет длину $4\pi -\frac{5\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $\frac{5\pi }{2}=2\pi +\frac{\pi }{2}$ изображается верхней точкой окружности, конец $4\pi$ — правой точкой. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт верхнюю и нижнюю точки — обе на дуге (верхняя совпадает с началом отрезка). Точка II четверти (серия $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$) лежит на дуге, а точка I четверти (серия $\frac{\pi }{3}+2\pi k$) дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Верхняя точка — начало отрезка $\frac{5\pi }{2}$, точка II четверти — $2\pi +\frac{2\pi }{3}=\frac{8\pi }{3}$, нижняя точка — $4\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{2}$.

Проверим соседние значения серий. Для серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$: $\frac{3\pi }{2}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{9\pi }{2}>4\pi$. Для серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$: $\frac{2\pi }{3}<\frac{5\pi }{2}$ и $\frac{14\pi }{3}>4\pi$. Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{7\pi }{3}=\frac{14\pi }{6}<\frac{15\pi }{6}=\frac{5\pi }{2}$, а следующее значение $\frac{13\pi }{3}>\frac{12\pi }{3}=4\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{3}+2\pi k$, $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi }{2}$; $\frac{8\pi }{3}$; $\frac{7\pi }{2}$.