ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Раскроем синус суммы, учитывая $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{2}\left(\sin x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2\left(\sin x+\cos x\right).$$

По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x-2\left(\sin x+\cos x\right)+1=0.$$

Сделаем замену $t=\sin x+\cos x$. Выразим через $t$ произведение $2\sin x\cos x$: возведём $t$ в квадрат и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$:

$$t^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\sin x\cos x\Rightarrow 2\sin x\cos x=t^2-1.$$

Подставим в уравнение:

$$\left(t^2-1\right)-2t+1=0\iff t^2-2t=0\iff t(t-2)=0\iff [\begin{array}{l}t=0,\\ t=2.\end{array}$$

Сделаем обратную замену.

1. $\sin x+\cos x=0$. Это однородное уравнение первой степени. На его решениях $\cos x\ne 0$: если бы $\cos x=0$, то из уравнения и $\sin x=0$, а синус и косинус одного угла одновременно в ноль не обращаются, так как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Значит, деление обеих частей на $\cos x$ — равносильный переход:

$$\mathrm{tg}x+1=0\iff \mathrm{tg}x=-1\iff x=-\frac{\pi }{4}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

2. $\sin x+\cos x=2$. Свернём левую часть обратно по формуле синуса суммы: $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$. Тогда

$$\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}.$$

Так как $\sqrt{2}>1$, а синус не превосходит $1$, решений нет.

Итак, $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-\frac{19\pi }{2};-8\pi \right]$ имеет длину $-8\pi +\frac{19\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{19\pi }{2}=-10\pi +\frac{\pi }{2}$ изображается верхней точкой окружности, конец $-8\pi$ — правой точкой. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+\pi k$ даёт две диаметрально противоположные точки: в IV четверти (угол $-\frac{\pi }{4}$) и во II четверти (угол $\frac{3\pi }{4}$). Обе лежат на дуге.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Точка II четверти — $-10\pi +\frac{3\pi }{4}=-\frac{37\pi }{4}$, точка IV четверти — $-8\pi -\frac{\pi }{4}=-\frac{33\pi }{4}$.

Проверим соседние значения серии: $-\frac{37\pi }{4}-\pi =-\frac{41\pi }{4}<-\frac{38\pi }{4}=-\frac{19\pi }{2}$ и $-\frac{33\pi }{4}+\pi =-\frac{29\pi }{4}>-\frac{32\pi }{4}=-8\pi$ — вне отрезка.

Ответ: а) $-\frac{\pi }{4}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{37\pi }{4}$; $-\frac{33\pi }{4}$.