ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Распишем синус разности по формуле $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$:

$$\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x.$$

Упростим косинус. Косинус — чётная функция, поэтому $\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$. По формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$: угол $\frac{\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{\pi }{2}-x$ лежит в I четверти, где косинус положителен.

Подставим оба выражения в уравнение и раскроем скобки:

$$2\sin x\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)-3\sqrt{2}\sin x=0\iff {\sin }^{2}x-\sqrt{3}\sin x\cos x-3\sqrt{2}\sin x=0.$$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$$\sin x\left(\sin x-\sqrt{3}\cos x-3\sqrt{2}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x-\sqrt{3}\cos x=3\sqrt{2}.\end{array}$$

Первое уравнение: синус равен нулю в правой и левой точках окружности, $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Второе уравнение решим методом вспомогательного угла. Коэффициенты при $\sin x$ и $\cos x$ равны $1$ и $-\sqrt{3}$, поэтому разделим обе части на $\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=2$:

$$\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$

Так как $\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$, левая часть сворачивается по формуле синуса разности:

$$\sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{2}.$$

Сравним правую часть с единицей: ${\left(3\sqrt{2}\right)}^2=18>4=2^2$, поэтому $3\sqrt{2}>2$ и $\frac{3\sqrt{2}}{2}>1$. Синус не может быть больше $1$, значит, второе уравнение решений не имеет.

Итак, $x=\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отрезок $\left[-6\pi ;-\frac{9\pi }{2}\right]$ имеет длину $-\frac{9\pi }{2}+6\pi =\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-6\pi$ изображается правой точкой окружности, конец $-\frac{9\pi }{2}=-6\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижней точкой. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

Серия $x=\pi k$ даёт правую и левую точки окружности — обе на дуге (правая совпадает с началом отрезка).

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Правая точка — начало отрезка $-6\pi$, левая точка — $-6\pi +\pi =-5\pi$.

Проверим соседние значения серии: $-6\pi -\pi =-7\pi <-6\pi$ и $-5\pi +\pi =-4\pi >-\frac{9\pi }{2}$ — вне отрезка.

Ответ: а) $\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-6\pi$; $-5\pi$.