ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) ОДЗ: аргументы логарифмов положительны.

$$\{\begin{array}{l}{x}^2>0,\\ x^4>0\end{array}\iff x\ne 0.$$

Запись ${\log }_{0,5}^2\left(x^2\right)$ означает квадрат логарифма: ${\left({\log }_{0,5}\left(x^2\right)\right)}^2$.

Приведём оба логарифма к основанию $2$. Воспользуемся свойством ${\log }_{a^m}b=\frac{1}{m}{\log }_{a}b$ (при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$, $m\ne 0$).

Так как $0,5=2^{-1}$, то ${\log }_{0,5}\left(x^2\right)=-{\log }_2\left(x^2\right)$, а при возведении в квадрат минус пропадает:

$${\log }_{0,5}^2\left(x^2\right)={\left(-{\log }_2\left(x^2\right)\right)}^2={\log }_2^2\left(x^2\right).$$

Так как $8=2^3$ и $x^4={\left(x^2\right)}^2$, то по свойству ${\log }_a{b}^n=n{\log }_{a}b$ (оно верно, ведь на ОДЗ $x^2>0$)

$${\log }_8\left(x^4\right)=\frac{1}{3}{\log }_2{\left(x^2\right)}^2=\frac{2}{3}{\log }_2\left(x^2\right).$$

Заметим: выносить показатель до самого $x$ и писать ${\log }_{2}x$ нельзя — $x$ может быть отрицательным. Поэтому оставляем под логарифмом $x^2$.

Уравнение принимает вид

$${\log }_2^2\left(x^2\right)-4\cdot \frac{2}{3}{\log }_2\left(x^2\right)-1=0\iff {\log }_2^2\left(x^2\right)-\frac{8}{3}{\log }_2\left(x^2\right)-1=0.$$

Умножим обе части на $3$ и сделаем замену $t={\log }_2\left(x^2\right)$:

$$3t^2-8t-3=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-8{)}^2-4\cdot 3\cdot (-3)=64+36=100=10^2,t_1=\frac{8-10}{6}=-\frac{1}{3},t_2=\frac{8+10}{6}=3.$$

Сделаем обратную замену и воспользуемся определением логарифма (${\log }_{2}A=c\iff A=2^c$):

$$[\begin{array}{l}{\log }_2\left(x^2\right)=-\frac{1}{3},\\ {\log }_2\left(x^2\right)=3\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}^2=2^{-\frac{1}{3}},\\ x^2=2^3=8\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm 2^{-\frac{1}{6}},\\ x=\pm 2\sqrt{2}.\end{array}$$

Здесь $\sqrt{2^{-\frac{1}{3}}}=2^{-\frac{1}{6}}=\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ и $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Все четыре числа отличны от нуля, то есть входят в ОДЗ.

б) Проверим каждый корень: лежит ли он на отрезке $\left[-0,9;2,9\right]$.

1. $x=2^{-\frac{1}{6}}$. Функция $y=2^t$ возрастает, а $-\frac{1}{6}<0$, поэтому $0<2^{-\frac{1}{6}}<2^0=1$. Значит, $-0,9<0<2^{-\frac{1}{6}}<1<2,9$, и корень лежит на отрезке.

2. $x=-2^{-\frac{1}{6}}$. Нужно проверить неравенство $-0,9⩽-2^{-\frac{1}{6}}$, то есть $2^{-\frac{1}{6}}⩽0,9$. Оба числа положительны, поэтому их можно сравнить, возведя в шестую степень (функция $y=t^6$ возрастает при $t>0$):

$${\left(2^{-\frac{1}{6}}\right)}^6=2^{-1}=0,5,0,9^6={\left(0,9^2\right)}^3=0,81^3>0,8^3=0,512>0,5.$$

Значит, $0,9>2^{-\frac{1}{6}}$, откуда $-0,9<-2^{-\frac{1}{6}}<0<2,9$, и корень лежит на отрезке.

3. $x=2\sqrt{2}$. Оба числа $2\sqrt{2}$ и $2,9$ положительны, сравним их квадраты: ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=8$, $2,9^2=8,41$. Так как $8<8,41$, то $2\sqrt{2}<2,9$, и корень лежит на отрезке.

4. $x=-2\sqrt{2}$. Так как $2\sqrt{2}=\sqrt{8}>\sqrt{4}=2$, то $-2\sqrt{2}<-2<-0,9$: корень левее отрезка и не подходит.

Ответ: а) $\pm 2^{-\frac{1}{6}}$, $\pm 2\sqrt{2}$; б) $-2^{-\frac{1}{6}}$; $2^{-\frac{1}{6}}$; $2\sqrt{2}$.