ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Раскроем синус суммы по формуле $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$, учитывая $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\sin 2x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\cos 2x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sin 2x+\cos 2x.$$

Уравнение принимает вид

$$\cos x+\sin 2x+\cos 2x=\sin 2x-1.$$

Вычтем из обеих частей $\sin 2x$ и перенесём $-1$ влево:

$$\cos x+\cos 2x+1=0.$$

Чтобы осталась одна функция, распишем косинус двойного угла через косинус: $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Тогда

$$\cos x+2{\cos }^{2}x-1+1=0\iff 2{\cos }^{2}x+\cos x=0\iff \cos x\left(2\cos x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \cos x=-\frac{1}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Для второго уравнения $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$, поэтому $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$. Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-\frac{11\pi }{2};-4\pi \right]$ имеет длину $-4\pi +\frac{11\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-\frac{11\pi }{2}=-6\pi +\frac{\pi }{2}$ изображается верхней точкой окружности, конец $-4\pi$ — правой точкой. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через II, III и IV четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт верхнюю и нижнюю точки — обе на дуге (верхняя совпадает с началом отрезка). Точка II четверти (серия $\frac{2\pi }{3}+2\pi k$) и точка III четверти (серия $-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$) тоже лежат на дуге.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Верхняя точка — начало отрезка $-\frac{11\pi }{2}$. Точка II четверти — $-6\pi +\frac{2\pi }{3}=-\frac{16\pi }{3}$. Точка III четверти — $-4\pi -\frac{2\pi }{3}=-\frac{14\pi }{3}$. Нижняя точка — $-4\pi -\frac{\pi }{2}=-\frac{9\pi }{2}$.

Проверим соседние значения серий. Для серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$: $-\frac{11\pi }{2}-\pi =-\frac{13\pi }{2}<-\frac{11\pi }{2}$ и $-\frac{9\pi }{2}+\pi =-\frac{7\pi }{2}>-4\pi$. Для серии $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$: $-\frac{22\pi }{3}<-\frac{11\pi }{2}$ и $-\frac{10\pi }{3}>-4\pi$. Для серии $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$: $-\frac{20\pi }{3}<-\frac{11\pi }{2}$ и $-\frac{8\pi }{3}>-4\pi$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{2}$; $-\frac{16\pi }{3}$; $-\frac{14\pi }{3}$; $-\frac{9\pi }{2}$.