ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

В уравнении есть ${\sin }^{2}x$, поэтому косинус двойного угла удобно расписать тоже через синус: $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$. Подставим и раскроем скобки:

$$\cos x\left(1-2{\sin }^{2}x\right)+\sqrt{3}{\sin }^{2}x=\cos x\iff \cos x-2{\sin }^{2}x\cos x+\sqrt{3}{\sin }^{2}x-\cos x=0.$$

Слагаемые $\cos x$ и $-\cos x$ взаимно уничтожаются:

$$\sqrt{3}{\sin }^{2}x-2{\sin }^{2}x\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель ${\sin }^{2}x$ за скобки. Делить на ${\sin }^{2}x$ нельзя: так потерялись бы корни, где $\sin x=0$.

$${\sin }^{2}x\left(\sqrt{3}-2\cos x\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${\sin }^{2}x=0\iff \sin x=0$, получаем

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Синус равен нулю в правой и левой точках окружности: $x=\pi k$. Косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ в двух точках, симметричных относительно горизонтальной оси: $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$, поэтому $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$. Итак,

$$[\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{6}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$ имеет длину $-\frac{5\pi }{2}+4\pi =\frac{3\pi }{2}<2\pi$, отберём корни на единичной окружности. Начало $-4\pi$ изображается правой точкой окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижней точкой. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти.

Серия $x=\pi k$ даёт правую и левую точки — обе на дуге (правая совпадает с началом отрезка). Точка I четверти (серия $\frac{\pi }{6}+2\pi k$) лежит на дуге, а точка IV четверти (серия $-\frac{\pi }{6}+2\pi k$) дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Правая точка — начало отрезка $-4\pi$, точка I четверти — $-4\pi +\frac{\pi }{6}=-\frac{23\pi }{6}$, левая точка — $-4\pi +\pi =-3\pi$.

Проверим соседние значения серий. Для серии $x=\pi k$: $-5\pi <-4\pi$ и $-2\pi >-\frac{5\pi }{2}$. Для серии $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$: $-\frac{23\pi }{6}-2\pi =-\frac{35\pi }{6}<-4\pi$ и $-\frac{23\pi }{6}+2\pi =-\frac{11\pi }{6}>-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$. Серия $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отрезок пропускает: $-\frac{25\pi }{6}<-\frac{24\pi }{6}=-4\pi$, а следующее значение $-\frac{13\pi }{6}>-\frac{15\pi }{6}=-\frac{5\pi }{2}$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-4\pi$; $-\frac{23\pi }{6}$; $-3\pi$.