ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos (x+\pi )=-\cos x$: угол $\pi$ отсчитывается от горизонтальной оси, поэтому косинус остаётся косинусом, а при малых $x>0$ угол $x+\pi$ лежит в III четверти, где косинус отрицателен. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x-\sqrt{2}\cos x=0.$$

Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки. Делить на $\cos x$ нельзя: так потерялись бы корни, где $\cos x=0$.

$$\cos x\left(2\sin x-\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (оба множителя определены при всех $x$):

$$[\begin{array}{l}\cos x=0,\\ \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$$

Косинус равен нулю в верхней и нижней точках окружности: $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$. Синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ в двух точках: в I четверти (угол $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$) и во II четверти (угол $\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$). Получаем

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{2}+\pi k,\\ x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,\\ x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

б) Отрезок $\left[3\pi ;\frac{9\pi }{2}\right]$ имеет длину $\frac{9\pi }{2}-3\pi =\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало $3\pi =2\pi +\pi$ изображается левой точкой окружности, конец $\frac{9\pi }{2}=4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхней точкой. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через III, IV и I четверти.

Серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ даёт нижнюю и верхнюю точки — обе на дуге (верхняя совпадает с концом отрезка). Точка I четверти (серия $\frac{\pi }{4}+2\pi k$) лежит на дуге, а точка II четверти (серия $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$) дугой не покрыта.

Найдём числа, соответствующие отмеченным точкам. Нижняя точка — $4\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{7\pi }{2}$, точка I четверти — $4\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{17\pi }{4}$, верхняя точка — конец отрезка $\frac{9\pi }{2}$.

Проверим соседние значения серий. Из серии $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$ на отрезок попадают $\frac{7\pi }{2}$ и $\frac{9\pi }{2}$: соседние значения $\frac{5\pi }{2}<3\pi$ и $\frac{11\pi }{2}>\frac{9\pi }{2}$. Из серии $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ попадает только $\frac{17\pi }{4}$: соседние значения $\frac{9\pi }{4}<\frac{12\pi }{4}=3\pi$ и $\frac{25\pi }{4}>\frac{18\pi }{4}=\frac{9\pi }{2}$. Серия $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$ отрезок пропускает: $\frac{11\pi }{4}<\frac{12\pi }{4}=3\pi$, а следующее значение $\frac{19\pi }{4}>\frac{18\pi }{4}=\frac{9\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi }{2}+\pi k$, $\frac{\pi }{4}+2\pi k$, $\frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{7\pi }{2}$; $\frac{17\pi }{4}$; $\frac{9\pi }{2}$.