ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Упростим второе слагаемое. По формуле приведения $\cos \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\sin x$: угол $\frac{3\pi }{2}$ отсчитывается от вертикальной оси, поэтому косинус меняется на синус, а при малых $x>0$ угол $\frac{3\pi }{2}-x$ лежит в III четверти, где косинус отрицателен. При возведении в квадрат минус пропадает:

$${\cos }^2\left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=(-\sin x{)}^2={\sin }^{2}x.$$

Уравнение принимает вид

$$\cos 2x+{\sin }^{2}x=0,25.$$

Чтобы в уравнении осталась одна функция, распишем косинус двойного угла через синус по формуле $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$:

$$1-2{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x=0,25\iff 1-{\sin }^{2}x=0,25\iff {\sin }^{2}x=\frac{3}{4}.$$

Перенесём всё в одну часть и разложим по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$${\sin }^{2}x-\frac{3}{4}=0\iff \left(\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0\iff [\begin{array}{l}\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{array}$$

Оба значения лежат на отрезке $[-1;1]$, поэтому каждое уравнение имеет решения. Уравнение $\sin x=a$ при $|a|⩽1$ имеет две серии решений: $x=\arcsin a+2\pi k$ и $x=\pi -\arcsin a+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Для $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$, поэтому $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ или $x=\pi -\frac{\pi }{3}+2\pi k=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$.

Для $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$: $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\pi }{3}$, поэтому $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ или $x=\pi +\frac{\pi }{3}+2\pi k=\frac{4\pi }{3}+2\pi k$.

Получаем четыре серии:

$$[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,\\ x=\frac{4\pi }{3}+2\pi k,\end{array}k\in \mathbb{Z}.$$

Точки $\frac{\pi }{3}$ и $\frac{4\pi }{3}$ на окружности диаметрально противоположны (отличаются на $\pi$), точки $-\frac{\pi }{3}$ и $\frac{2\pi }{3}$ — тоже. Поэтому серии можно объединить попарно и записать ответ короче: $x=\pm \frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}\right]$, с помощью двойных неравенств: для каждой серии найдём все целые $k$, при которых корень лежит на отрезке. Делим все части неравенства на $2\pi >0$, знаки неравенства при этом сохраняются.

Серия $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$:

$$-4\pi ⩽\frac{\pi }{3}+2\pi k⩽-\frac{5\pi }{2}\iff -\frac{13\pi }{3}⩽2\pi k⩽-\frac{17\pi }{6}\iff -\frac{13}{6}⩽k⩽-\frac{17}{12}.$$

Так как $-\frac{13}{6}=-2\frac{1}{6}$ и $-\frac{17}{12}=-1\frac{5}{12}$, подходит единственное целое $k=-2$. Корень: $x=\frac{\pi }{3}-4\pi =-\frac{11\pi }{3}$.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$:

$$-4\pi ⩽\frac{2\pi }{3}+2\pi k⩽-\frac{5\pi }{2}\iff -\frac{14\pi }{3}⩽2\pi k⩽-\frac{19\pi }{6}\iff -\frac{7}{3}⩽k⩽-\frac{19}{12}.$$

Здесь $-\frac{7}{3}=-2\frac{1}{3}$ и $-\frac{19}{12}=-1\frac{7}{12}$, подходит только $k=-2$. Корень: $x=\frac{2\pi }{3}-4\pi =-\frac{10\pi }{3}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$:

$$-4\pi ⩽-\frac{\pi }{3}+2\pi k⩽-\frac{5\pi }{2}\iff -\frac{11\pi }{3}⩽2\pi k⩽-\frac{13\pi }{6}\iff -\frac{11}{6}⩽k⩽-\frac{13}{12}.$$

Здесь $-\frac{11}{6}=-1\frac{5}{6}$ и $-\frac{13}{12}=-1\frac{1}{12}$: между ними нет ни одного целого числа, корней из этой серии на отрезке нет.

Серия $x=\frac{4\pi }{3}+2\pi k$:

$$-4\pi ⩽\frac{4\pi }{3}+2\pi k⩽-\frac{5\pi }{2}\iff -\frac{16\pi }{3}⩽2\pi k⩽-\frac{23\pi }{6}\iff -\frac{8}{3}⩽k⩽-\frac{23}{12}.$$

Здесь $-\frac{8}{3}=-2\frac{2}{3}$ и $-\frac{23}{12}=-1\frac{11}{12}$, подходит только $k=-2$. Корень: $x=\frac{4\pi }{3}-4\pi =-\frac{8\pi }{3}$.

Проверим результат на единичной окружности. Отрезок имеет длину $-\frac{5\pi }{2}+4\pi =\frac{3\pi }{2}$. Его начало $-4\pi$ изображается правой точкой окружности, конец $-\frac{5\pi }{2}=-4\pi +\frac{3\pi }{2}$ — нижней. Дуга от начала к концу против часовой стрелки проходит через I, II и III четверти, поэтому на ней лежат три точки из четырёх, а точка IV четверти (серия $-\frac{\pi }{3}+2\pi k$) не покрыта — это совпадает с вычислениями.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi }{3}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{11\pi }{3}$; $-\frac{10\pi }{3}$; $-\frac{8\pi }{3}$.