ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Синус — нечётная функция, поэтому $\sin (-x)=-\sin x$; косинус — чётная, поэтому $\cos (-x)=\cos x$. По формуле синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Уравнение принимает вид

$$2\sin x\cos x+\sin x+2\cos x+1=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых:

$$\sin x\left(2\cos x+1\right)+\left(2\cos x+1\right)=0\iff \left(2\cos x+1\right)\left(\sin x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=-\frac{1}{2},\\ \sin x=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

Концы отрезка со знаменателем 6: $\frac{3\pi }{2}=\frac{9\pi }{6}$, $3\pi =\frac{18\pi }{6}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k$ — нижняя точка окружности, она совпадает с началом дуги. При $k=1$ получаем $\frac{3\pi }{2}$ — это левый конец отрезка, корень подходит. Соседние значения $-\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{7\pi }{2}>3\pi$ — вне отрезка.

Серия $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку во II четверти. При $k=1$ получаем $\frac{8\pi }{3}=\frac{16\pi }{6}$, и $\frac{9\pi }{6}⩽\frac{16\pi }{6}⩽\frac{18\pi }{6}$ — корень подходит. Соседние значения $\frac{2\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$ и $\frac{14\pi }{3}>3\pi$ — вне отрезка.

Серия $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k$ даёт точку в III четверти, которая на дугу не входит: $\frac{4\pi }{3}=\frac{8\pi }{6}<\frac{9\pi }{6}$, а следующее значение $\frac{10\pi }{3}=\frac{20\pi }{6}>\frac{18\pi }{6}$.

На отрезке лежат корни $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{8\pi }{3}$.

Ответ: а) $\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $-\frac{\pi }{2}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{3\pi }{2}$, $\frac{8\pi }{3}$.