ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

По формуле приведения $\cos (\pi +2x)=-\cos 2x$, а по формуле косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Значит,

$$2\cos (\pi +2x)=-2\left(2{\cos }^{2}x-1\right)=2-4{\cos }^{2}x.$$

Упростим корни: $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Уравнение принимает вид

$$2-4{\cos }^{2}x-2-2\sqrt{2}\cos x=\sqrt{6}+2\sqrt{3}\cos x.$$

Перенесём всё в одну сторону и умножим на $-1$:

$$4{\cos }^{2}x+2\sqrt{2}\cos x+2\sqrt{3}\cos x+\sqrt{6}=0.$$

Сгруппируем первые два и последние два слагаемых. Так как $\sqrt{6}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}$, в каждой группе выделяется множитель $2\cos x+\sqrt{2}$:

$$2\cos x\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)+\sqrt{3}\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)=0\iff \left(2\cos x+\sqrt{3}\right)\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2},\\ \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k,\\ x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[\frac{3\pi }{2};3\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $\frac{3\pi }{2}$ — нижняя точка окружности, конец $3\pi =2\pi +\pi$ — левая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим IV, I и II четверти.

Концы отрезка со знаменателем 12: $\frac{3\pi }{2}=\frac{18\pi }{12}$, $3\pi =\frac{36\pi }{12}$.

Точки $\frac{5\pi }{6}$ и $\frac{3\pi }{4}$ лежат во II четверти, она входит в дугу. При $k=1$ получаем $\frac{5\pi }{6}+2\pi =\frac{17\pi }{6}=\frac{34\pi }{12}$ и $\frac{3\pi }{4}+2\pi =\frac{11\pi }{4}=\frac{33\pi }{12}$; оба числа лежат между $\frac{18\pi }{12}$ и $\frac{36\pi }{12}$. При $k=0$ и $k=2$ значения этих серий ($\frac{5\pi }{6}$, $\frac{3\pi }{4}$ и $\frac{29\pi }{6}$, $\frac{19\pi }{4}$) лежат вне отрезка.

Точки $-\frac{5\pi }{6}$ и $-\frac{3\pi }{4}$ лежат в III четверти, которая на дугу не входит. Проверим: при $k=1$ получаем $\frac{7\pi }{6}=\frac{14\pi }{12}$ и $\frac{5\pi }{4}=\frac{15\pi }{12}$ — оба меньше $\frac{18\pi }{12}$, а при $k=2$ получаем $\frac{19\pi }{6}$ и $\frac{13\pi }{4}$ — оба больше $3\pi$.

На отрезке лежат корни $\frac{11\pi }{4}$, $\frac{17\pi }{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11\pi }{4}$, $\frac{17\pi }{6}$.