ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия, разложение на множители

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Косинус — чётная функция, поэтому $\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, а по формуле приведения $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$. Уравнение принимает вид

$${\sin }^{3}x=\sin x\iff \sin x\left({\sin }^{2}x-1\right)=0.$$

Разложим скобку по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$$\sin x\left(\sin x-1\right)\left(\sin x+1\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \sin x=1,\\ \sin x=-1\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\frac{\pi }{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

Первая серия — правая и левая точки окружности, вторая — верхняя и нижняя. Вместе это четыре точки, идущие через $\frac{\pi }{2}$, поэтому обе серии записываются одной формулой

$$x=\frac{\pi k}{2},k\in \mathbb{Z}.$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right]$ равна $\pi <2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{3\pi }{2}=-2\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-\frac{\pi }{2}$ — нижняя точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II и III четверти.

На дуге лежат три точки серии: верхняя ($-\frac{3\pi }{2}$, начало отрезка), левая ($-\pi$) и нижняя ($-\frac{\pi }{2}$, конец отрезка). Правая точка на дугу не попадает: соседние значения серии $-2\pi <-\frac{3\pi }{2}$ и $0>-\frac{\pi }{2}$ лежат вне отрезка.

На отрезке лежат корни $-\frac{3\pi }{2}$, $-\pi$, $-\frac{\pi }{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi k}{2}$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{3\pi }{2}$, $-\pi$, $-\frac{\pi }{2}$.