ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — логарифмические уравнения

Разбор — 2 балла

а) Запись ${\log }_3^{3}A$ означает ${\left({\log }_{3}A\right)}^3$, а ${\log }_3^{2}A$ — это ${\left({\log }_{3}A\right)}^2$.

Найдём ОДЗ: аргументы всех логарифмов должны быть положительны.

$$\{\begin{array}{l}(x-3{)}^2>0,\\ \frac{1}{x-3}>0,\\ \frac{1}{(x-3{)}^4}>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ne 3,\\ x>3,\\ x\ne 3\end{array}\iff x>3.$$

На ОДЗ $x-3>0$, поэтому можно пользоваться свойством логарифма степени ${\log }_3{a}^n=n{\log }_{3}a$ при $a=x-3>0$:

$${\log }_3(x-3{)}^2=2{\log }_3(x-3),{\log }_3\frac{1}{x-3}={\log }_3(x-3{)}^{-1}=-{\log }_3(x-3),$$

$${\log }_3\frac{1}{(x-3{)}^4}={\log }_3(x-3{)}^{-4}=-4{\log }_3(x-3).$$

Сделаем замену $t={\log }_3(x-3)$. Тогда

$${\log }_3^3(x-3{)}^2=(2t{)}^3=8t^3,8{\log }_3\frac{1}{x-3}=-8t,{\log }_3^2\frac{1}{(x-3{)}^4}=(-4t{)}^2=16t^2.$$

Уравнение принимает вид

$$8t^3-8t+16=16t^2.$$

Разделим обе части на 8 и перенесём всё в левую часть:

$$t^3-2t^2-t+2=0.$$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$$t^2(t-2)-(t-2)=0\iff (t-2)\left(t^2-1\right)=0\iff (t-2)(t-1)(t+1)=0.$$

Значит, $t=2$, $t=1$ или $t=-1$. Сделаем обратную замену по определению логарифма:

$${\log }_3(x-3)=2\iff x-3=9\iff x=12;$$

$${\log }_3(x-3)=1\iff x-3=3\iff x=6;$$

$${\log }_3(x-3)=-1\iff x-3=\frac{1}{3}\iff x=\frac{10}{3}.$$

Все три значения больше 3, то есть удовлетворяют ОДЗ.

б) Сначала упростим концы отрезка. Так как $0,6=\frac{3}{5}$, то ${\log }_{0,6}\frac{1}{6}=\frac{\ln \frac{1}{6}}{\ln \frac{3}{5}}=\frac{-\ln 6}{-\ln \frac{5}{3}}={\log }_{\frac{5}{3}}6$. Аналогично $0,8=\frac{4}{5}$ и ${\log }_{0,8}\frac{1}{8}={\log }_{\frac{5}{4}}8$. Итак, нужен отрезок

$$\left[{\log }_{\frac{5}{3}}6;{\log }_{\frac{5}{4}}8\right].$$

Оба основания больше 1, поэтому обе функции $y={\log }_{\frac{5}{3}}t$ и $y={\log }_{\frac{5}{4}}t$ возрастают. Отсюда для числа $c$ получаем правило: $c⩾{\log }_{\frac{5}{3}}6$ тогда и только тогда, когда ${\left(\frac{5}{3}\right)}^c⩾6$, и $c⩽{\log }_{\frac{5}{4}}8$ тогда и только тогда, когда ${\left(\frac{5}{4}\right)}^c⩽8$.

Корень $x=6$. Так как ${\left(\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{25}{9}>2$, то ${\left(\frac{5}{3}\right)}^6>2^3=8>6$, и значит, $6>{\log }_{\frac{5}{3}}6$. Так как ${\left(\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{25}{16}<2$, то ${\left(\frac{5}{4}\right)}^6<2^3=8$, и значит, $6<{\log }_{\frac{5}{4}}8$. Корень $6$ лежит на отрезке.

Корень $x=12$. Так как ${\left(\frac{5}{4}\right)}^4=\frac{625}{256}>2$ (потому что $625>512$), то ${\left(\frac{5}{4}\right)}^{12}>2^3=8$, и значит, $12>{\log }_{\frac{5}{4}}8$. Корень $12$ правее отрезка и не подходит.

Корень $x=\frac{10}{3}$. Нужно сравнить ${\left(\frac{5}{3}\right)}^{\frac{10}{3}}$ с числом 6. Оба числа положительны, возведём их в куб — знак сравнения сохранится:

$${\left(\frac{5}{3}\right)}^{10}\vee 6^3=216.$$

Оценим ${\left(\frac{5}{3}\right)}^5=\frac{3125}{243}<13$, так как $13\cdot 243=3159>3125$. Тогда

$${\left(\frac{5}{3}\right)}^{10}<13^2=169<216.$$

Значит, ${\left(\frac{5}{3}\right)}^{\frac{10}{3}}<6$, то есть $\frac{10}{3}<{\log }_{\frac{5}{3}}6$. Корень $\frac{10}{3}$ левее отрезка и не подходит.

Ответ: а) $\frac{10}{3}$; $6$; $12$; б) $6$.