ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №14 — тригонометрия и формулы

Разбор — 2 балла

а) Уравнение определено при всех $x$, ограничений нет.

Перенесём $\sqrt{2}{\cos }^{2}x$ в правую часть и воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$:

$$2{\sin }^{2}x\cos x=\sqrt{2}-\sqrt{2}{\cos }^{2}x=\sqrt{2}\left(1-{\cos }^{2}x\right)=\sqrt{2}{\sin }^{2}x.$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель ${\sin }^{2}x$:

$$2{\sin }^{2}x\cos x-\sqrt{2}{\sin }^{2}x=0\iff {\sin }^{2}x\left(2\cos x-\sqrt{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$$[\begin{array}{l}\sin x=0,\\ \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=\pi k,\\ x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.\end{array}$$

б) Длина отрезка $\left[-\frac{7\pi }{2};-2\pi \right]$ равна $\frac{3\pi }{2}<2\pi$, поэтому отберём корни на единичной окружности. Начало отрезка $-\frac{7\pi }{2}=-4\pi +\frac{\pi }{2}$ — верхняя точка окружности, конец $-2\pi$ — правая точка. Двигаясь от начала к концу против часовой стрелки, проходим II, III и IV четверти.

Концы отрезка со знаменателем 4: $-\frac{7\pi }{2}=-\frac{14\pi }{4}$, $-2\pi =-\frac{8\pi }{4}$.

Из серии $x=\pi k$ на отрезок попадают $-3\pi$ (левая точка) и $-2\pi$ (правая точка, конец отрезка). Соседние значения $-4\pi <-\frac{7\pi }{2}$ и $-\pi >-2\pi$ — вне отрезка.

Серия $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ даёт точку в I четверти, которая на дугу не входит: $-\frac{15\pi }{4}<-\frac{14\pi }{4}$, а следующее значение $-\frac{7\pi }{4}>-\frac{8\pi }{4}$.

Серия $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k$ даёт точку в IV четверти. При $k=-1$ получаем $-\frac{9\pi }{4}$, и $-\frac{14\pi }{4}⩽-\frac{9\pi }{4}⩽-\frac{8\pi }{4}$ — корень подходит. Соседние значения $-\frac{17\pi }{4}<-\frac{14\pi }{4}$ и $-\frac{\pi }{4}>-2\pi$ — вне отрезка.

На отрезке лежат корни $-3\pi$, $-\frac{9\pi }{4}$, $-2\pi$.

Ответ: а) $\pi k$, $\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$; б) $-3\pi$, $-\frac{9\pi }{4}$, $-2\pi$.